发表机构
TU Darmstadt; The University of Queensland; Australian National University（达姆施塔特工业大学; 昆士兰大学; 澳大利亚国立大学）
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本文为光滑复代数簇上的代数环建立热带分类框架，证明其由热带点与初始簇连通分支决定，并应用于超平面排列补集，给出显式代表元及根赋值数据的热带解释。
AI 中文摘要
设 $Y$ 为光滑复代数簇。我们发展了一个热带框架来研究代数环，即与形式环 $\mathrm{Spec}\\, \mathbb{C}(\\!(t)\\!)\to Y$ 相关联的 $Y^{\mathrm{an}}$ 中的自由同伦类。当 $Y$ 为非常仿射时，每个形式环确定 $\mathrm{Trop}(Y)$ 中的一个整点。对于 schön 簇，我们证明了相关的代数环由该热带点连同对应的初始簇的一个连通分支所决定。因此，当所有初始簇都连通时，整热带点对代数环进行分类。我们将此理论应用于 $Y$ 为超平面排列补集的情形。在此情形下，我们将初始簇等同于分次排列的补集，并获得代数环的显式代表元，作为相对全扭转的乘积。在 $A$ 型中，这些代表元恢复了纯代数辫子。对于根排列，我们的构造给出了 Goresky、Kottwitz 和 MacPherson 的分裂根赋值数据的热带解释。最后，我们证明了与正代数辫子相关联的辫子簇的上同调仅依赖于其根赋值数据。
英文摘要
Let $Y$ be a smooth complex algebraic variety. We develop a tropical framework for studying algebraic loops, i.e., free homotopy classes in $Y^{\mathrm{an}}$ associated with formal loops $\mathrm{Spec}\, \mathbb{C}(\!(t)\!)\to Y$. When $Y$ is very affine, every formal loop determines an integral point of $\mathrm{Trop}(Y)$. For schön varieties, we prove that the associated algebraic loop is determined by this tropical point together with a connected component of the corresponding initial variety. Consequently, when all initial varieties are connected, integral tropical points classify algebraic loops. We apply this theory to the case when $Y$ is a hyperplane arrangement complement. In this case, we identify the initial varieties with complements of graded arrangements and obtain explicit representatives for algebraic loops as products of relative full twists. In type $A$, these representatives recover pure algebraic braids. For root arrangements, our construction gives a tropical interpretation of the split root valuation data of Goresky, Kottwitz, and MacPherson. Finally, we prove that the cohomology of braid varieties associated with positive algebraic braids depends only on their root valuation data.
Comments49 pages
