AI 中文总结
本文通过 profile-word 编码推导双变量生成函数，证明对固定 j 和 k≥3，FD_{j,k}(n)/FO_{j,k}(n) 趋于无穷，从而证实 Gray 等人的猜想并得到严格最终不等式。
AI 中文摘要
Gray、Payne、Swisher 和 Watson 猜想：对于固定的整数 $j \geq 0$ 和 $k \geq 2$，周长为 $n$ 且恰好有 $j$ 个部分大小其重数至少为 $k$ 的划分数 $FD_{j,k}(n)$ 最终至少为恰好有 $j$ 个不同出现部分大小可被 $k$ 整除的划分数 $FO_{j,k}(n)$。我们利用划分的 profile-word 编码推导出这两个统计量的双变量生成函数。对于 $k \geq 3$，系数提取表明固定 $j$ 会改变主导极点的阶数但不改变其位置。相应的主导奇点是正实数 $\rho_k$ 和 $\sigma_k$，其中 $\rho_k$ 满足 $\rho_k+\rho_k^2+\cdots+\rho_k^k=1$，$\sigma_k$ 满足 $\sigma_k^k=(1-\sigma_k)^{k-1}$。我们证明对每个 $k \geq 3$ 都有 $\rho_k<\sigma_k$。因此，当 $n \to \infty$ 时 $FD_{j,k}(n)/FO_{j,k}(n) \to \infty$，从而证明了该猜想并得到 $k \geq 3$ 时的严格最终不等式。$k=2$ 的情形恢复了已知的精确恒等式。
英文摘要
Gray, Payne, Swisher, and Watson conjectured that, for fixed integers $j \geq 0$ and $k \geq 2$, the number $FD_{j,k}(n)$ of partitions of perimeter $n$ having exactly $j$ part sizes of multiplicity at least $k$ is eventually at least the number $FO_{j,k}(n)$ having exactly $j$ distinct occurring part sizes divisible by $k$. We derive bivariate generating functions for both statistics using the profile-word encoding of a partition. For $k \geq 3$, coefficient extraction shows that fixing $j$ changes the order of the dominant pole but not its location. The corresponding dominant singularities are positive real numbers $ρ_k$ and $σ_k$, where $ρ_k$ satisfies $ρ_k+ρ_k^2+\cdots+ρ_k^k=1$ and $σ_k$ satisfies $σ_k^k=(1-σ_k)^{k-1}$. We prove that $ρ_k<σ_k$ for every $k \geq 3$. Consequently, $FD_{j,k}(n)/FO_{j,k}(n) \to \infty$ as $n \to \infty$, proving the conjecture and yielding a strict eventual inequality for $k \geq 3$. The case $k=2$ recovers the known exact identity.
