有向哈密顿圈奇偶性的确定性 $O^*((3/2)^n)$ 算法
Directed Hamiltonian-Cycle Parity in $O^*((3/2)^n)$ Deterministic Time and Polynomial Space
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中文总结 AI 辅助
提出确定性算法，利用状态编码与仿射化、二进制子立方体覆盖及条件期望去随机化，在 $O^*((3/2)^n)$ 时间内计算有向哈密顿圈奇偶性。
中文摘要 AI 辅助
我们给出了一个用于计算 $n$ 顶点有向图中哈密顿圈数量奇偶性的确定性算法。对于 $n\geq 2$，运行时间为 $O^*((3/2)^n)$，空间使用量为 $2^{O(n/\log n)}$。该构造始于 Björklund 和 Husfeldt 的局部度恒等式。他们保留的项是 $\mathbb{F}_2$ 上二次方程组的解。我们将该方程组的每个坐标编码为三种状态之一，并观察到每坐标禁止一种状态可使方程组变为仿射线性。三元立方体通过对径二进制子立方体的覆盖给出一个小的仿射方程组族。该覆盖被构造为确定性的。我们使用 Kuang 和 Wang 的偶诱导子图构造，结合条件期望，获得一个包含 $b$ 个坐标的块，其中心数至多为 $2(3/2)^b-1$。每个三元状态的规范所有者消除了所有重复枚举。第二个条件期望论证选择人工自环，使得所有系统生成的仿射解总数不超过系统数量。每个状态的剩余贡献通过一次 $\mathbb{F}_2$ 上的高斯消元评估。我们包含了编码、所有者规则、两次去随机化以及复杂度界限的完整证明。退化的一顶点情况单独处理，因为此时自环本身可以是一个哈密顿圈。
英文摘要
We give a deterministic algorithm that computes the parity of the number of Hamiltonian cycles in an $n$-vertex directed graph in $O(n^4(3/2)^n)$ time and $O(n^2)$ bits of working space, improving the $O^*(φ^n)$ bound of Björklund and Husfeldt. Their local-degree formula reduces the problem to a weighted sum over solutions of structured quadratic equations. We cover the corresponding ternary state space by binary subcubes, each inducing an affine system. The Kuang--Wang cover can be regenerated within the target bound; canonical ownership resolves its overlaps, while self-loop conditional expectations bound every affine solution visit. Rollback elimination shares the work across cover prefixes. The same cover gives a Las Vegas algorithm listing all $L$ solutions of $m$ affine product constraints in $N$ Boolean variables in expected time $\operatorname{poly}(N,m)((3/2)^m+L)$ and polynomial space. Finally, we show that complete enumeration can require $Ω((3/2)^n)$ visits even on strongly connected digraphs after an optimal self-loop choice. This is a limitation of the enumeration method, not a general lower bound for Hamiltonian-cycle parity.
发表机构
- Peking University（北京大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
