发表机构
School of Mathematics and Statistics, Xi’an Jiaotong University（西安交通大学数学与统计学院）
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本文证明了 sigma-2 方程在严格平均凸 C^3 域上连续 2-凸解的正则性，并给出反例说明假设不可弱化。
AI 中文摘要
本文证明，在有界严格平均凸 $C^{3}$ 域上，具有正连续密度的 $\sigma_{2}$ 方程的连续 $2$-凸解，在任意维数下对每个 $1<p<\infty$ 都属于 $W^{2,p}$。此外，若密度为 $C^{\alpha}$（$0<\alpha<1$），则解属于 $C^{2,\alpha}$。另外，两个反例表明，域或边界值的 $C^{3}$ 假设一般不能弱化为 $C^{2,1}$。
英文摘要
In this paper, we prove that continuous $2$-convex solutions of the $σ_{2}$ equation with positive continuous density on bounded strictly mean-convex $C^{3}$ domains with $C^{3}$ boundary values belong to $W^{2,p}$ for every $1<p<\infty$ in every dimension. If, in addition, the density is $C^α$, $0<α<1$, the solutions belong to $C^{2,α}$. Moreover, two counterexamples show that neither the $C^{3}$ assumption on the domain nor that on the boundary values can in general be weakened to $C^{2,1}$.
