线性形式的有界渐近基
Bounded asymptotic bases for linear forms
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本文研究线性形式的有界渐近基，证明对二元向量及特定高维族存在集合使每个大整数有有界正数表示。
中文摘要 AI 辅助
对于正整数向量 $\mathbf{b} = (b_1,\ldots,b_h)$ 且 $\gcd(b_1,\ldots,b_h) = 1$，我们研究集合 $A \subseteq \mathbb{N}$，使得每个足够大的整数都有有界正数的表示个数 \\[ n = b_1 x_1 + \cdots + b_h x_h \qquad (x_1,\ldots,x_h\in A)。\\] 我们证明，对于每个二元向量 $\mathbf{b} \neq (1,1)$，这样的集合存在；并且对于某些一般的高维族，包括 $\mathbf{b} = (u_1, p^d u_2, \ldots, p^{(h-1)d} u_h)$（其中 $p\nmid u_1\cdots u_h$）也存在。
英文摘要
For a vector of positive integers $\mathbf{b} = (b_1,\ldots,b_h)$ with $\gcd(b_1,\ldots,b_h) = 1$, we study sets $A \subseteq \mathbb{N}$ for which every sufficiently large integer has a bounded positive number of representations \[ n = b_1 x_1 + \cdots + b_h x_h \qquad (x_1,\ldots,x_h\in A). \] We prove that such a set exists for every binary vector $\mathbf{b} \neq (1,1)$, and for some general higher-dimensional families, including $\mathbf{b} = (u_1, p^d u_2, \ldots, p^{(h-1)d} u_h)$ where $p\nmid u_1\cdots u_h$.
发表机构
- Institute of Mathematics, Statistics and Computer Science University of São Paulo（圣保罗大学数学、统计和计算机科学研究所）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
