图论中游走的一个一般不等式
A General Inequality for Walks in Graphs
- University of California, San Diego（加利福尼亚大学圣地亚哥分校）
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AI总结：
本文针对任意图 $G$，给出了长度游走数乘积不等式成立的充分必要条件，条件基于非负整数序列的和相等，简洁且一般。
AI中文摘要：
设 $G$ 为一个图，$w_k(G)$ 表示 $G$ 中长度为 $k$ 的游走数量。对于非负整数序列 $a_1, \cdots, a_n$ 和 $b_1, \cdots, b_n$，满足 $a_1 + \cdots + a_n = b_1 + \cdots + b_n$，我们确定了关于 $a_1, \cdots, a_n, b_1, \cdots, b_n$ 的一个简单充分必要条件，使得不等式 $w_{a_1}(G) \cdots w_{a_n}(G) \geq w_{b_1}(G) \cdots w_{b_n}(G)$ 对任意图 $G$ 均成立。
英文摘要：
Let $G$ be a graph and $w_k(G)$ denote the number of walks in $G$ of length $k$. For sequences $a_1, \cdots, a_n$ and $b_1, \cdots, b_n$ of non-negative integers such that $a_1 + \cdots + a_n = b_1 + \cdots + b_n$, we determine a simple necessary and sufficient condition on $a_1, \cdots, a_n, b_1, \cdots, b_n$ for the inequality \[ w_{a_1}(G) \cdots w_{a_n}(G) \geq w_{b_1}(G) \cdots w_{b_n}(G) \] to hold for any graph $G$.
