与单纯复形相关的 $\mathbb{F}_{q}+u\mathbb{F}_{q}$ 上的线性码、其 Gray 像及子域码
Linear Codes over $\mathbb{F}_{q}+u\mathbb{F}_{q}$ associated with Simplicial Complexes, Their Gray Images, and Subfield Codes
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- Indian Institute of Technology Delhi（印度德里理工学院）
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中文总结 AI 辅助
本文利用单纯复形在环 $\mathbb{F}_{q}+u\mathbb{F}_{q}$ 上构造四类线性码，通过 Gray 映射和子域码得到距离最优、Griesmer 及近 Griesmer 码的无限族。
中文摘要 AI 辅助
近年来，单纯复形作为在有限域上构造距离最优码的有用工具而受到广泛关注。本文利用具有一个或两个极大元素的单纯复形，在环 $\mathcal{R}=\mathbb{F}_{q}+u\mathbb{F}_{q}$（其中 $u^2=0$）上构造了四类无限族线性码，并通过指数和技术完全确定了它们的 Lee 重量分布。通过采用 $\mathcal{R}$ 上的 Gray 映射，我们获得了 $\mathbb{F}_{q}$ 上的无限族距离最优码，包括一个近 Griesmer 族，并建立了它们极小性的充分条件。此外，我们研究了相应的子域码，推导了其距离最优性和极小性的充分条件，从而得到了无限族 Griesmer 码和近 Griesmer 码。
英文摘要
In recent years, simplicial complexes have gained considerable attention as a useful tool for constructing distance-optimal codes over finite fields. In this article, we construct four infinite families of linear codes over the ring $\mathcal{R}=\mathbb{F}_{q}+u\mathbb{F}_{q}$ with $u^2=0$ using simplicial complexes with one or two maximal elements, and completely determine their Lee weight distributions via exponential-sum techniques. By employing a Gray map on $\mathcal{R}$, we obtain infinite families of distance-optimal codes over $\mathbb{F}_{q}$, including a near-Griesmer family, and establish sufficient conditions for their minimality. Furthermore, we investigate the corresponding subfield codes and derive sufficient conditions for their distance-optimality and minimality, yielding infinite families of Griesmer and near-Griesmer codes.
