将 Billingsley 模型倾斜至大素数：两个相变
Tilting Billingsley's model toward a giant prime: two phase transitions
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中文总结 AI 辅助
本文研究加权整数模型中最大素因子奖励引起的两个相变，揭示不同参数下素数因子分布从 PD 划分到单素数主导的转变，并给出余因子极限分布。
中文摘要 AI 辅助
Billingsley 定理指出，在 $[1,x]$ 中均匀随机整数的素因子的归一化对数收敛到 Poisson--Dirichlet 分布 $PD(1)$，而用广义除数函数 $d_\theta(n)$ 对整数 $n$ 加权则得到 $PD(\theta)$。我们提出一个问题：当整数还根据其最大素因子 $P^+(n)$ 获得奖励时，这一图景会保留多少？对于固定的 $\theta,\beta>0$ 和 $\gamma\ge0$，我们以与 $d_\theta(n)\exp\{\beta H_\gamma(n)\}$ 成比例的概率采样 $N_x=n\le x$，其中对于 $\gamma>0$，$H_\gamma(n)=(\log P^+(n))^\gamma$，而 $H_0(1)=0$，对于 $n\ge2$，$H_0(n)=1$。发生两个相变。在 $\gamma=0$ 时，$PD(\theta)$ 划分得以保留，而任何固定的 $\gamma>0$ 都会迫使一个素数渐近地携带全部对数质量。第二个相变发生在 $\gamma=1$，涉及余因子 $R_x=N_x/P^+(N_x)$。令 $a_x=\beta\gamma(\log x)^{\gamma-1}$，其分布在总变差意义下渐近于 $Q_{a_x}(m)=d_\theta(m)m^{-1-a_x}/\zeta(1+a_x)^\theta$。因此，对于 $0<\gamma<1$，$a_x\log R_x$ 具有 $Gamma(\theta,1)$ 极限，其中形状参数为 $\theta$，速率为 1，且 $R_x$ 的归一化对数素因子具有独立的 $PD(\theta)$ 极限；在 $\gamma=1$ 时，$R_x$ 具有非退化的离散极限；对于 $\gamma>1$，$R_x=1$ 以高概率成立。我们还确定了涉及 $N_x/x$ 和归一化常数的联合极限，其中经典 Alladi--Erdős 渐近作为特例包含在内。
英文摘要
Billingsley's theorem states that the normalized logarithms of the prime factors of a uniform random integer in $[1,x]$ converge to the Poisson--Dirichlet law $PD(1)$, while weighting an integer $n$ by the generalized divisor function $d_θ(n)$ gives $PD(θ)$. We ask what remains of this picture when the integer is also rewarded according to its largest prime factor $P^+(n)$. For fixed $θ,β>0$ and $γ\ge0$, we sample $N_x=n\le x$ with probability proportional to $d_θ(n)\exp\{βH_γ(n)\}$, where $H_γ(n)=(\log P^+(n))^γ$ for $γ>0$, while $H_0(1)=0$ and $H_0(n)=1$ for $n\ge2$. Two phase transitions occur. At $γ=0$ the $PD(θ)$ partition survives, whereas every fixed $γ>0$ forces one prime to carry asymptotically all logarithmic mass. The second transition, at $γ=1$, concerns the cofactor $R_x=N_x/P^+(N_x)$. With $a_x=βγ(\log x)^{γ-1}$, its law is asymptotic in total variation to $Q_{a_x}(m)=d_θ(m)m^{-1-a_x}/ζ(1+a_x)^θ$. Thus, for $0<γ<1$, $a_x\log R_x$ has a $Gamma(θ,1)$ limit, with shape $θ$ and rate one, and the normalized logarithmic prime factors of $R_x$ have an independent $PD(θ)$ limit; at $γ=1$, $R_x$ has a nondegenerate discrete limit; and for $γ>1$, $R_x=1$ with high probability. We also determine the joint limits involving $N_x/x$ and the normalizing constants, which include the classical Alladi--Erdős asymptotic as a special case.
发表机构
- University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
