随机行列式对数律的中心极限定理与Berry--Esseen界

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设 $A=(A_n)_{n\ge2}$ 为一个随机矩阵的三角阵列，其中 $A_n=(a_{ij})_{1\le i,j\le n}$ 是 $n\times n$ 随机矩阵，其独立实值元素满足 $\mathbb E a_{ij}=0$ 和 $\mathbb Ea_{ij}^2=1$，并令 $\mathcal L_n=\log|\det A_n|$ 以及 \\[ W_n^{\mathrm d}(A_n):=\frac{\mathcal L_n - \frac12\log(n-1)!}{\sqrt{\frac12\log n}},\quad W_n^{\mathrm e}(A_n):= \frac{\mathcal L_n-\mathbb E \mathcal L_n}{\sqrt{\frac12\log n}}. \\] 我们证明，当族 $\left\{\frac{|a_{ij}|^{4}}{\sqrt{\log(e+|a_{ij}|)}} \right\}_{n\geq 2;1\leq i,j\leq n}$ 一致可积时，$W_n^{\mathrm d}(A_n) \Rightarrow \mathcal N(0,1)$。此外，若元素具有一致有界密度，则当族 $\left\{\frac{|a_{ij}|^{4}}{\log(e+|a_{ij}|)}\right\}_{n\geq 2;1\leq i,j\leq n}$ 一致可积时，$W_n^{\mathrm e}(A_n) \Rightarrow \mathcal N(0,1)$。这两个条件在普遍矩假设层面上是最优的。我们进一步建立了相应的Berry--Esseen界，并证明对于 $0<\delta\le\tfrac12$，若 $\sup\limits_{n}\max\limits_{1\le i,j\le n}\mathbb E \frac{|a_{ij}|^4} {\{\log(e+|a_{ij}|)\}^{1/2-\delta}}<\infty$，则 \begin{align*} d_{\mathrm K}(W_n^{\mathrm d}(A_n),\mathcal N(0,1))\le C(\log n)^{-\delta}. \end{align*} 对于 $0<\gamma\le1$，若 $\sup\limits_{n}\max\limits_{1\le i,j\le n}\mathbb E \frac{|a_{ij}|^4} {\{\log(e+|a_{ij}|)\}^{1-\gamma}}<\infty$ 且元素具有一致有界密度，则 \begin{align*} d_{\mathrm K}(W_n^{\mathrm e}(A_n),\mathcal N(0,1))\le C(\log n)^{-\gamma}. \end{align*} 当 $\delta = 1/2$ 和 $\gamma = 1$ 时，界 $(\log n)^{-1/2}$ 和 $(\log n)^{-1}$ 分别是最优的。我们的结果改进了由 \cite{BaoPanZhou2015} 提出的早期中心极限定理和由 \cite{NguyenVu2014} 提出的Berry--Esseen界。

英文摘要

Let $A=(A_n)_{n\ge2}$ be a triangular array of random matrices, where $A_n=(a_{ij})_{1\le i,j\le n}$ is an $n\times n$ random matrix with independent real entries satisfying $\mathbb E a_{ij}=0$ and $\mathbb Ea_{ij}^2=1$, and put $\mathcal L_n=\log|\det A_n|$ and \[ W_n^{\mathrm d}(A_n):=\frac{\mathcal L_n - \frac12\log(n-1)!}{\sqrt{\frac12\log n}},\quad W_n^{\mathrm e}(A_n):= \frac{\mathcal L_n-\mathbb E \mathcal L_n}{\sqrt{\frac12\log n}}. \] We prove that $W_n^{\mathrm d}(A_n) \Rightarrow \mathcal N(0,1)$, whenever the family $\left\{\frac{|a_{ij}|^{4}}{\sqrt{\log(e+|a_{ij}|)}} \right\}_{n\geq 2;1\leq i,j\leq n}$ is uniformly integrable. If, in addition, the entries have uniformly bounded densities, then $W_n^{\mathrm e}(A_n) \Rightarrow \mathcal N(0,1)$ whenever the family $\left\{\frac{|a_{ij}|^{4}}{\log(e+|a_{ij}|)}\right\}_{n\geq 2;1\leq i,j\leq n} $ is uniformly integrable. These two conditions are optimal at the level of universal moment assumptions. We further establish the corresponding Berry--Esseen bounds, and show that for $0<δ\le\tfrac12$, if $\sup\limits_{n}\max\limits_{1\le i,j\le n}\mathbb E \frac{|a_{ij}|^4} {\{\log(e+|a_{ij}|)\}^{1/2-δ}}<\infty$, then \begin{align*} d_{\mathrm K}(W_n^{\mathrm d}(A_n),\mathcal N(0,1))\le C(\log n)^{-δ}. \end{align*} For $0<γ\le1$, if $\sup\limits_{n}\max\limits_{1\le i,j\le n}\mathbb E \frac{|a_{ij}|^4} {\{\log(e+|a_{ij}|)\}^{1-γ}}<\infty$ and the entries have uniformly bounded densities, then \begin{align*} d_{\mathrm K}(W_n^{\mathrm e}(A_n),\mathcal N(0,1))\le C(\log n)^{-γ}. \end{align*} When $δ= 1/2$ and $γ= 1$, the bounds $(\log n)^{-1/2}$ and $(\log n)^{-1}$ are optimal, respectively. Our results improve the earlier Central Limit Theorem by \cite{BaoPanZhou2015} and the Berry--Esseen bound by \cite{NguyenVu2014}.

发表机构

• Dalian University of Technology（大连理工大学）
• Southern University of Science and Technology（南方科技大学）

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