高斯函数并不总是使薛定谔方程的混合范数Strichartz不等式达到最大化
Gaussians Do Not Always Maximize Mixed-Norm Strichartz Inequalities for the Schrödinger Equation
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中文总结 AI 辅助
本文研究薛定谔方程混合范数Strichartz不等式最大化问题，在低维1≤d≤5中确定了阈值ρ_d，证明高斯函数在r<ρ_d时为稳定局部最大化子，在r>ρ_d时不是，并给出特定情形下的全局稳定性不等式。
中文摘要 AI 辅助
我们研究薛定谔方程的混合范数Strichartz不等式族的最大化问题，即 $\\|e^{-it\Delta/2}f\\|_{L_t^qL_{\boldsymbol{x}}^r(\mathbb{R}^{1+d})}\le C_{q,r}\lVert f\rVert_{L^2(\mathbb{R}^d)}$，其中 $2/q+d/r=d/2$，$q,r\geq 2$，且当 $d\geq 3$ 时 $r\leq 2d/(d-2)$。我们证明，在低维 $1\leq d\leq 5$ 中，阈值 $\rho_1=10$，$\rho_2=6$，$\rho_3=4\sqrt{7}-6\approx 4.583$，$\rho_4=2\sqrt{15}-4\approx 3.746$ 和 $\rho_5=10/3\approx 3.333$ 满足：当 $2<r<\rho_d$ 时，高斯函数是稳定的局部最大化子；当 $\rho_d<r\leq 2d/(d-2)$ 时，高斯函数不是局部最大化子（约定当 $d\in\{1,2\}$ 时 $r$ 无上界，且当 $d=2$ 时排除 $r=\infty$）。在 $(q,r,d)\in\{(6,6,1),(8,4,1),(4,4,2)\}$ 的情形中，我们建立了具有有效稳定性常数的全局稳定性不等式。两个证明都依赖于我们精确计算的谱间隙。
英文摘要
We investigate the maximization problem for the family of mixed-norm Strichartz inequalities for the Schrödinger equation, $\|e^{-itΔ/2}f\|_{L_t^qL_{\boldsymbol{x}}^r(\mathbb{R}^{1+d})}\le C_{q,r}\lVert f\rVert_{L^2(\mathbb{R}^d)}$, with $2/q+d/r=d/2$, $q,r\geq 2$, and thus $r\leq 2d/(d-2)$ if $d\geq 3$. We show that, in low dimensions $1\leq d\leq 5$, the thresholds $ρ_1=10$, $ρ_2=6$, $ρ_3=4\sqrt{7}-6\approx 4.583$, $ρ_4=2\sqrt{15}-4\approx 3.746$, and $ρ_5=10/3\approx 3.333$ are such that gaussians are stable local maximizers for $2<r<ρ_d$, and fail to be local maximizers for $ρ_d<r\leq 2d/(d-2)$ (with the conventions there is no upper bound on $r$ when $d\in\{1,2\}$ and that $r=\infty$ is excluded when $d=2$). In the cases $(q,r,d)\in\{(6,6,1),(8,4,1),(4,4,2)\}$, we establish global stability inequalities with effective stability constants. Both proofs hinge on spectral gaps which we compute exactly.
发表机构
- IMPA – Instituto de Matemática Pura e Aplicada（巴西纯数学与应用数学研究所）
- Center for Mathematical Analysis, Geometry and Dynamical Systems & Departamento de Matemática Instituto Superior Técnico Universidade de Lisboa（里斯本大学高等技术学院数学系及数学分析、几何与动力系统中心）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
