$p$-Wasserstein 距离下的鞅中心极限定理
Martingale central limit theorems in $p$-Wasserstein distance
- The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）
- University of Tokyo（东京大学）
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AI总结：
本文在 $p$-Wasserstein 距离下推广了多元鞅中心极限定理，结合 Lindeberg 交换论证和高斯卷积不等式，并应用于随机梯度下降算法。
AI中文摘要：
我们获得了关于 $\mathbb{R}^d$ 中 $\ell_r$ 范数的 $p$-Wasserstein 距离下的多元鞅中心极限定理，其中 $p\geq 1$，$r\in [1,\infty]$，这推广了文献中 $p=1$ 和 $r=2$ 的结果。作为推论，我们得到了 Yurinskii 耦合和 Cramér 型中等偏差结果。我们还提供了对随机梯度下降算法的说明性应用。为了证明我们的主要结果，我们将 Lindeberg 的交换论证与一个新的高斯卷积不等式相结合，该不等式控制高斯分布与扰动卷积后的分布和具有匹配均值和协方差矩阵的高斯分布之间的 $p$-Wasserstein 距离。后者是通过发展最近关于 $p$-Wasserstein 界的研究方向而获得的。
英文摘要：
We obtain multivariate martingale central limit theorems in $p$-Wasserstein distance with respect to the $\ell_r$ norm in $\mathbb{R}^d$ for $p\geq 1$ and $r\in [1,\infty]$, which generalize the results for $p=1$ and $r=2$ in the literature. As corollaries, we obtain the Yurinskii coupling and Cramér-type moderate deviation results. We also provide an illustrative application to the stochastic gradient descent algorithm. To prove our main results, we combine Lindeberg's swapping argument with a new Gaussian convolution inequality controlling the $p$-Wasserstein distance between a Gaussian convolved with a perturbation and the Gaussian with matching mean and covariance matrix. The latter is obtained by developing the recent line of research on $p$-Wasserstein bounds.
