最优几何不等式与完全非线性共形流
Optimal geometric inequalities and fully nonlinear conformal flows
浏览论文内容
中文总结 AI 辅助
本文通过完全非线性共形流，将尖锐 Sobolev 型几何不等式从锥 $\mathcal{C}_k$ 推广到 $\mathcal{C}_{k-1}$，解决了维度 3 和 4 中的两个开放问题，并证明无法进一步推广到 $\mathcal{C}_{k-2}$。
中文摘要 AI 辅助
我们在 $\mathbb{S}^n$ 上建立了涉及总 $\sigma_k$-曲率 $\int_{\mathbb{S}^n}\sigma_k(g)\\,dv_g$ 的尖锐 Sobolev 型几何不等式。这些结果将 Guan--Wang~\cite{GWDuke} 的最优不等式从锥 $\mathcal{C}_k$ 推广到严格更大的锥 $\mathcal{C}_{k-1}$，从而扩大了允许共形度量的范围。我们的方法是变分的，并通过完全非线性共形流来实现。在 $\mathcal{C}_{k-1}$ 中工作引入了实质性的分析困难；特别是，必须获得 $C^2$ 先验估计，同时验证流保持抛物性。我们通过精心设计的测试函数并将最大值原理应用于 Hessian 矩阵的最大特征值来解决这些问题。作为应用，我们解决了维度 3 和 4 中的两个开放问题。最后，我们给出例子表明这些不等式不能推广到 $\mathcal{C}_{k-2}$。
英文摘要
We establish sharp Sobolev-type geometric inequalities on $\mathbb{S}^n$ involving the total $σ_k$-curvatures $\int_{\mathbb{S}^n}σ_k(g)\,dv_g$. These results extend the optimal inequalities of Guan--Wang~\cite{GWDuke} from the cone $\mathcal{C}_k$ to the strictly larger cone $\mathcal{C}_{k-1}$, thereby enlarging the range of admissible conformal metrics. Our approach is variational and is implemented through a fully nonlinear conformal flow. Working in $\mathcal{C}_{k-1}$ introduces substantial analytic difficulties; in particular, one must obtain $C^2$ a priori estimates while simultaneously verifying that the flow remains parabolic. We resolve these issues via a carefully designed test function and by applying the maximum principle to the maximal eigenvalue of the Hessian matrix. As applications, we solve two open problems in dimensions 3 and 4. Finally, we give examples to show that these inequalities cannot be extended to $\mathcal{C}_{k-2}$.
发表机构
- Institut de Mathématiques de Toulouse, Université Paul Sabatier（图卢兹数学研究所，保罗·萨巴蒂尔大学）
- Albert-Ludwigs-Universität Freiburg（弗莱堡阿尔伯特-路德维希大学）
- School of Mathematics, Nanjing University（南京大学数学系）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
