Hölder 映射下集合与测度的像达到完全填充维数的一个阈值

中文摘要 AI 辅助

我们研究随机 Hölder 映射下测度的像何时达到完全填充维数。我们的主要工具是一族填充中间维数剖面 $\dim_{P,\theta}^{s}\mu$，由 $\theta\in(0,1]$ 和 $s>0$ 索引，它细化了 Falconer 和 Howroyd 的填充维数剖面，并在 $\theta=1$ 时退化为后者。对于一大类随机 $\alpha$-Hölder 映射 $f_\omega:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$（其中包括指数为 $\alpha$ 的分数布朗运动作为特例），我们证明：对 $\mathbb{R}^n$ 上每个紧支撑的 Borel 概率测度 $\mu$，$$\dim_P \mu_{f_\omega}=m \quad\text{几乎必然} \quad\Longleftrightarrow\quad \alpha m\leq \lim_{\theta\to 0}\dim_{P,\theta}^n \mu.$$ 我们进一步研究剖面 $\dim_P^s\mu$ 本身，获得一个定量下界以及当 $\theta\to 0$ 时其极限行为的 Marstrand 型恒等式。最后，我们得到解析集的类似刻画：$$\dim_P f_\omega(E)=m \quad\text{几乎必然} \quad\Longleftrightarrow\quad \alpha m\leq \lim_{\theta\to 0}\dim_{P,\theta}^n E,$$ 其中 $\dim_{P,\theta}^n E=\sup\{\dim_{P,\theta}^n \mu: \mu\in \mathcal{M}_c^+(E) \}$。

英文摘要

We study when the image of a measure under a random Hölder map attains full packing dimension. Our main tool is a family of packing intermediate dimension profiles $\dim_{P,θ}^{s}μ$, indexed by $θ\in(0,1]$ and $s>0$, which refine the packing dimension profiles of Falconer and Howroyd and reduce to them at $θ=1$. For a large family of random $α$-Hölder maps $f_ω:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$, which includes index-$α$ fractional Brownian motion as a particular case, we prove that for every compactly supported Borel probability measure $μ$ on $\mathbb{R}^n$, $$\dim_P μ_{f_ω}=m \quad\text{almost surely} \quad\Longleftrightarrow\quad αm\leq \lim_{θ\to 0}\dim_{P,θ}^n μ.$$ We further study the profiles $\dim_P^sμ$ themselves, obtaining a quantitative lower bound and a Marstrand-type identity for their limiting behavior as $θ\to 0$. Finally, we obtain the analogous characterization for analytic sets: $$\dim_P f_ω(E)=m \quad\text{almost surely} \quad\Longleftrightarrow\quad αm\leq \lim_{θ\to 0}\dim_{P,θ}^n E,$$ where $\dim_{P,θ}^n E=\sup\{\dim_{P,θ}^n μ:\, μ\in \mathcal{M}_c^+(E) \}$.

发表机构

• Università degli Studi di Trento（特伦托大学）
• Instituto de Matemática Aplicada San Luis (IMASL), CONICET（圣路易斯应用数学研究所（IMASL），阿根廷国家科学研究委员会）
• Universidad Nacional de San Luis（圣路易斯国立大学）

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