AI 中文总结
本文研究复合贝塞尔函数 $x^\alpha J_{\nu}(\beta x^\gamma)$ 的对数凹性，通过分析 $v(F)$ 的正性给出判定准则，适用于正参数 $\beta,\gamma$ 和实参数 $\alpha,\nu$。
AI 中文摘要
对于二次可微函数 $f:\left( a,b\right) \rightarrow \mathbb{R}$，定义 $v\left( f\right) =f^{\prime}f^{\prime}-f^{\prime\prime }f$。众所周知，$v\left( f\right) $ 的正性意味着函数 $\left\vert f\right\vert $ 在每个不包含 $f$ 零点的子区间上严格对数凹。本文针对复合贝塞尔函数 $F\left( x\right) =J_{\alpha,\beta,\gamma,\nu}\left( x\right):=x^{\alpha}J_{\nu}\left( \beta x^{\gamma}\right) $，其中 $\beta$ 和 $\gamma$ 为正数，$\alpha$ 和 $\nu$ 为实数，提供了 $v\left( F\right) $ 正性的判定准则。
英文摘要
For a twice differentiable function $f:\left( a,b\right) \rightarrow \mathbb{R}$ define $v\left( f\right) =f^{\prime}f^{\prime}-f^{\prime\prime }f.$ It is well known that the positivity of $v\left( f\right) $ implies that the function $\left\vert f\right\vert $ is strictly log-concave on each subinterval which does not contain zeros of $f.$ In this paper we provide criteria for the positivity of $v\left( F\right) $ for the composite Bessel function $F\left( x\right) =J_{α,β,γ,ν}\left( x\right) :=x^αJ_ν\left( βx^γ\right) $ for positive numbers $β$ and $γ$ and real numbers $α$ and $ν.$
Comments20 pages, 5 figures
