随机矩阵的谱性质
Spectral properties of Random Matrices
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- Queen Mary University of London（伦敦大学玛丽女王学院）
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中文总结 AI 辅助
本文通过Stieltjes变换和Dyson方程方法，建立了随机矩阵谱分布收敛理论，并证明插值模型的局部律具有普适性。
中文摘要 AI 辅助
我们通过随机矩阵、随机概率测度以及相应的经验谱分布的定义，给出随机矩阵理论的理论基础。我们使用的技术工具是Stieltjes变换方法，通过该方法我们证明了随机样本协方差矩阵的经验谱分布到确定性Marchenko-Pastur分布的优化收敛。我们还给出了关于该随机样本协方差矩阵特征值的刚性及其收敛速率的新结果。然后我们定义了Dyson方程方法，以证明关于一个在Marchenko-Pastur分布、椭圆律和圆律之间插值的随机矩阵模型的新的局部律。通过我们的工作，这些局部律可以被视为普适的。
英文摘要
We give the theoretical foundations of random matrix theory through the definitions of a random matrix, a random probability measure and the corresponding empirical spectral distribution. The technical tool we use is the Stieltjes transform method through which we prove optimal convergence of the empirical spectral distribution of random sample covariance matrices to the deterministic Marchenko-Pastur distribution. We also give new results about the rigidity of the eigenvalues of this random sample covariance matrix and the rate of their convergence. We then define the Dyson equation method to prove new local laws about a random matrix model that interpolates between the Marchenko-Pastur distribution, the elliptical law and the circular law. Through our work these local laws can be considered universal.
