半空间上的分数阶Hardy--Maz'ya不等式
Fractional Hardy--Maz'ya inequality on a half-space
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本文证明了半空间上的分数阶Maz'ya不等式，给出了最佳常数，并推广到Sobolev--Bregman形式。
中文摘要 AI 辅助
本文的主要目的是在半空间上提供著名的Maz'ya不等式的分数阶对应形式，即 $$ \int_{\mathbb{R}^{d}_{+}}\int_{\mathbb{R}^{d}_{+}}\frac{|u(x)-u(y)|^p}{|x-y|^{d+sp}}dy\\,dx\ge\mathcal{D}_{d,s,p}\int_{\mathbb{R}^{d}_{+}}\frac{|u(x)|^p}{x_d^{sp}}dx+C_{d,s,p,\tau}\int_{\mathbb{R}^{d}_{+}}\frac{|u(x)|^p}{x_{d}^{sp-\tau}\left(x_{d-1}^2+x_d^2\right)^{\tau/2}}dx, $$ 其中 $\mathcal{D}_{d,s,p}$ 表示半空间 $\mathbb{R}^{d}_{+}$ 上分数阶Hardy不等式中的最佳常数。我们还获得了Sobolev--Bregman形式框架下的类似结果。
英文摘要
The main purpose of this article is to provide a fractional counterpart of the well-known Maz'ya inequality on the half-space, that is $$ \int_{\mathbb{R}^{d}_{+}}\int_{\mathbb{R}^{d}_{+}}\frac{|u(x)-u(y)|^p}{|x-y|^{d+sp}}dy\,dx\ge\mathcal{D}_{d,s,p}\int_{\mathbb{R}^{d}_{+}}\frac{|u(x)|^p}{x_d^{sp}}dx+C_{d,s,p,τ}\int_{\mathbb{R}^{d}_{+}}\frac{|u(x)|^p}{x_{d}^{sp-τ}\left(x_{d-1}^2+x_d^2\right)^{τ/2}}dx, $$ where $\mathcal{D}_{d,s,p}$ stands for the sharp constant in the fractional Hardy inequality on a half-space $\mathbb{R}^{d}_{+}$. We also obtain a similar result in the setting of Sobolev--Bregman forms.
发表机构
- Wrocław University of Science and Technology（弗罗茨瓦夫科技大学）
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