发表机构
National University of Mongolia（蒙古国立大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文证明了刘关于三角形边长与内外半径的不等式猜想，通过化为固定和与积的正变量问题，并给出等号条件。
AI 中文摘要
设$a,b,c$为三角形的三边长，$R$和$r$分别表示其外接圆半径和内切圆半径。我们证明了刘的一个猜想，该猜想指出对于$k>1$，有\\[\sum_{\mathrm{cyc}} \left(\frac{a(b+c-a)}{bc}\right)^k \geq 2+\left(\frac{2r}{R}\right)^k,\\]而对于$0<k<1$，不等式反向成立。证明将问题归结为三个和与积固定的正变量。我们还确定了等号成立的情形。
英文摘要
Let $a,b,c$ be the side lengths of a triangle, and let $R$ and $r$ denote its circumradius and inradius, respectively. Liu proposed the conjecture \[ \sum_{\text{cyc}} \left(\frac{a(b+c-a)}{bc}\right)^k \ge 2+\left(\frac{2r}{R}\right)^k,\qquad k>1, \] with the reverse inequality for $k<1$. We prove this conjecture by reducing it to an algebraic inequality for three positive variables with prescribed sum and product. We also determine the equality cases.
