分支布朗运动加性鞅极限的波动
Fluctuations of additive martingale limits of branching Brownian motion
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中文总结 AI 辅助
本文研究分支布朗运动加性鞅极限在临界附近的收敛，将其加强为几乎必然收敛，并刻画其波动服从谱负1-稳定分布，且推广至复加性鞅和多维情形。
中文摘要 AI 辅助
考虑一维分支布朗运动。设 $W_\infty(\beta)$ 表示次临界区域 $\lvert \beta\rvert < \beta_c$ 中加性鞅的极限，$Z_\infty$ 为临界状态下导数鞅的极限。Madaule (Stochastic Process. Appl. 126 (2016), no. 2, 470--502) 建立了如下收敛：\\[ \frac{W_\infty(\beta)}{\beta_c-\beta}\xrightarrow[\beta\nearrow \beta_c]{\mathbb{P}} 2Z_\infty. \\] 本文的目标有两个：首先，我们将此结果加强为几乎必然收敛；其次，我们通过证明 \\[ \frac{1}{\beta_c-\beta}\left( \frac{W_\infty(\beta)}{\beta_c-\beta} - 2 Z_\infty +2(\beta_c-\beta)\log(\beta_c-\beta) Z_\infty\right) \xrightarrow[\beta\nearrow \beta_c]{(d)} S, \\] 来描述此收敛中出现的波动，其中，在给定 $Z_\infty$ 的条件下，$S$ 服从谱负的 1-稳定分布，其尺度和平移参数与 $Z_\infty$ 成正比。此外，这些结果被推广到复加性鞅的设置以及多维收敛的波动情形。
英文摘要
Consider a one-dimensional branching Brownian motion. Let $W_\infty(β)$ denote the limit of the additive martingale in the subcritical regime $\lvert β\rvert < β_c$ and $Z_\infty$ be the limit of the derivative martingale at criticality. Madaule (Stochastic Process. Appl. 126 (2016), no. 2, 470--502) established the following convergence \[ \frac{W_\infty(β)}{β_c-β}\xrightarrow[β\nearrow β_c]{\mathbb{P}} 2Z_\infty. \] The goal of this paper is twofold: firstly, we strengthen this result into an almost sure convergence; secondly, we describe the fluctuations occurring in this convergence by proving \[ \frac{1}{β_c-β}\left( \frac{W_\infty(β)}{β_c-β} - 2 Z_\infty +2(β_c-β)\log(β_c-β) Z_\infty\right) \xrightarrow[β\nearrow β_c]{(d)} S, \] where, conditionally on $Z_\infty$, $S$ follows a spectrally negative 1-stable distribution with scale and shift parameters proportional to $Z_\infty$. Furthermore, these results are extended to the setting of complex additive martingales and the fluctuations to a multi-dimensional convergence.
发表机构
- Beijing Normal University（北京师范大学）
- Institut de Mathématiques de Toulouse, Université de Toulouse, CNRS（图卢兹数学研究所，图卢兹大学，法国国家科学研究中心）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
