混合 $Q$-曲率刚性的尖锐阈值
A sharp threshold for mixed $Q$-curvature rigidity
- Ningbo University（宁波大学）
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AI总结：
本文证明了在正 Einstein 度量背景下，混合 Q-曲率泛函的常数度量在 a≥-4 时必为 Einstein，并构造反例表明该阈值尖锐，同时推广到更一般的泛函形式。
AI中文摘要：
设 $I_a(g)=Q_g+a\sigma_2(A_g)$，其中 $A_g$ 是 Schouten 张量，$Q_g$ 是 Branson 的 $Q$-曲率。在维数 $n\ge4$ 的闭连通流形上，给定一个正 Einstein 度量 $g_0$，我们证明：对于 $a\ge-4$，每一个共形于 $g_0$ 且具有非负数量曲率和常数 $I_a(g)$ 的光滑度量都是 Einstein 的。这个下阈值在每个维数上都是尖锐的：对于每个足够小的 $\eta>0$，球面 $S^n$ 上存在一个光滑的非 Einstein 共形度量，具有正数量曲率和常数 $I_{-4-\eta}(g)$。刚性证明结合了点态 Obata 恒等式和一个 Newton 恒等式，其参考曲率是数量曲率的最小值。一个局部极点方程和积分估计产生了一个径向打靶构造，将颈部连接到近似圆形的帽上。重标度后的颈部收敛到 Riemann Schwarzschild 度量，并且我们确定了渐近颈部的尺度。我们还证明了当 $R_g>0$，$a\ge-4$ 且 $\theta\le1$ 时，$I_a(g)=\Lambda R_g^\theta$ 的刚性。在维数四中，常数 $I_a(g)$ 刚性在 $-4\le a\le-4/3$ 时成立，且无需数量曲率的符号假设。
英文摘要：
We resolve Case's question (Crelle's Journal, 2024) on the sharp lower threshold for Obata-type rigidity of $I_a=Q+aσ_2(A)$ in positive Einstein conformal classes of dimension $n\ge4$. Using a new reference-curvature identity, we prove that, on a closed connected manifold, every smooth metric in such a class with nonnegative scalar curvature and constant $I_a$ is Einstein whenever $a\ge-4$. The scalar-curvature sign assumption can be removed for $-4\le a\le-2(n-2)/(n-1)$. We also extend the quotient rigidity theorem of Ge--Wang--Wei to $I_a=ΛR^θ$ for $R>0$, $a\ge-4$, and $θ\le1$. Sharpness is established in every dimension by a shooting construction. For each sufficiently small $η>0$, we construct a smooth non-Einstein metric in the round conformal class on $\mathbb S^n$ with positive scalar curvature and the same constant $I_{-4-η}$ as the unit round metric. The construction smoothly matches a perturbed Schwarzschild neck near the equator with perturbed round caps at both poles.
