Ehrhart 理论中的单峰性反例
Unimodality shenanigans in Ehrhart theory
- Università di Pisa（比萨大学）
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AI总结：
本文通过构造矩形棱柱的 Cayley 和，否证了 Stanley、Brenti 及 Ferroni-Higashitani 关于 IDP 多胞体 $h^*$-多项式单峰性与对数凹性的多个猜想，并给出光滑反例。
AI中文摘要：
我们证明了关于 IDP 多胞体的 $h^*$-多项式单峰性的一个已有四十年历史的猜想（归功于 Stanley）存在反例。作为我们主要构造的额外应用，我们还否证了 Brenti 关于 Gorenstein IDP 多胞体的 $h^*$-多项式对数凹性的猜想，以及 Ferroni 和 Higashitani 关于 IDP 多胞体的 Ehrhart 级数对数凹性的猜想。我们还回答了他们的一个问题，即是否存在具有非对数凹内部 Ehrhart 级数的非常丰足多胞体。我们的一类例子通过取矩形棱柱的 Cayley 和得到，因此根据 Haase、Paffenholz、Piechnik 和 Santos 的结果，它们具有正则幺模旗形三角剖分。对于单峰性猜想，我们甚至能找到光滑的反例。
英文摘要：
We show the existence of counterexamples to a four-decade-old conjecture attributed to Stanley concerning the unimodality of $h^*$-polynomials of IDP polytopes. As additional applications of our main constructions, we also disprove a conjecture by Brenti on the log-concavity of $h^*$-polynomials of Gorenstein IDP polytopes, and a conjecture by Ferroni and Higashitani concerning the log-concavity of the Ehrhart series of IDP polytopes. We also answer their question about the existence of very ample polytopes with non-log-concave interior Ehrhart series. Our class of examples arises by taking Cayley sums of rectangular prisms, and hence they possess regular unimodular flag triangulations by a result of Haase, Paffenholz, Piechnik and Santos. For the unimodality conjecture, we can even find smooth counterexamples.
