$\mathrm{GL}_{2m}(\mathbb{C})/\mathrm{GL}_m(\mathbb{H})$ 的 distinguished 标准模
Distinguished standard modules for $\mathrm{GL}_{2m}(\mathbb{C})/\mathrm{GL}_m(\mathbb{H})$
AI总结：
本文刻画了被GL_m(H)所distinguished的GL_{2m}(C)标准模，证明其被distinguished当且仅当存在无固定点对合p使δ_{p(i)}=δ_i^*，并利用重数估计、轨道计算与局部交织周期给出充要条件。
AI中文摘要：
我们刻画了被 $\GL_m(\HH)$ 所 distinguished 的 $\GL_{2m}(\C)$ 的标准模。设 $\delta_1,\dots, \delta_{2m}$ 为 $\mathbb{C}^\times$ 的特征。假设 $S = \delta_1 \times \cdots \times \delta_{2m}$ 是 $\GL_{2m}(\mathbb{C})$ 的一个标准模。对每个 $i$，定义 ${\delta_i^*} (z) = \delta_i(\overline{z})^{-1}$，其中 $ z \in \mathbb{C}^\times$。特别地，我们得出结论：$\GL_{2m}(\mathbb{C})$ 的一个标准模被 $\GL_{m}(\mathbb{H})$ 所 distinguished 当且仅当存在一个无固定点的对合 $p\in S_{2m}$，使得对每个 $i$ 都有 $\delta_{p(i)}=\delta_i^*$。我们首先验证了 Suzuki 和 Tamori 在文献 \cite{ST} 中的重数估计定理的假设。然后，Matringe、Offen 和 Yang 在文献 \cite{MOYglobal} 中的轨道计算给出了必要条件和一个维数界。最后，局部交织周期证明了充分性。
英文摘要：
We characterize the standard modules of $\GL_{2m}(\C)$ that are distinguished by $\GL_m(\HH)$. Let $δ_1,\dots, δ_{2m}$ be characters of $\mathbb{C}^\times$. Assume that $S = δ_1 \times \cdots \times δ_{2m}$ is a standard module of $\GL_{2m}(\mathbb{C})$. For each $i$, define ${δ_i^*} (z) = δ_i(\overline{z})^{-1}$ for $ z \in \mathbb{C}^\times$. In particular, we conclude that a standard module for $\GL_{2m}(\mathbb{C})$ is distinguished by $\GL_{m}(\mathbb{H})$ if and only if there exists an involution $p\in S_{2m}$ without fixed points such that $δ_{p(i)}=δ_i^*$ for every $i$. We first verify the hypotheses of the multiplicity estimate theorem of Suzuki and Tamori in \cite{ST}. The orbit calculation of Matringe, Offen, and Yang in \cite{MOYglobal} then gives the necessary condition and a dimension bound. Then local intertwining periods prove sufficiency.
