关于 $\mathrm{GL}_n$ 上同号 Hecke 特征值个数的研究

中文摘要 AI 辅助

我们研究自对偶 Hecke--Maass 尖形式在群 $\mathrm{SL}_n(\mathbb Z)$ 上的（实值）Hecke 特征值 $A(m,1,...,1)$ 的符号分布，其中 $n\geq 2$ 为整数。我们的主要结果在广义 Ramanujan--Petersson 猜想下证明：对于几乎所有 $x\sim X$，短区间 $[x,x+H]$ 包含一个子集 $\mathcal S$（相应地 $\mathcal S'$），其大小 $\gg H(\log X)^{1/n^2-1}$，使得对所有 $m\in\mathcal S$（相应地 $m\in\mathcal S'$），$A(m,1,...,1)$ 为正（相应地负），前提是 $(\log X)^{1-1/n^2}\ll H\ll X$。对于 $\mathrm{GL}_2$ 和 $\mathrm{GL}_3$ Hecke--Maass 尖形式，我们还无条件证明了稍强一些的结果。此外，在广义 Ramanujan--Petersson 猜想的较弱界下，我们也获得了相应结果。最后，作为我们方法的副产品，我们改进了此前关于同号 Hecke 特征值个数的界：对于 $\mathrm{GL}_2$ 和 $\mathrm{GL}_3$ Hecke--Maass 尖形式，在长区间上无条件成立；对于 $n\geq 4$ 的 $\mathrm{GL}_n$ 形式，在广义 Ramanujan--Petersson 猜想下成立。

英文摘要

We study the distribution of signs of the (real-valued) Hecke eigenvalues $A(m,1,...,1)$ of self-dual Hecke--Maass cusp forms for the group $\mathrm{SL}_n(\mathbb Z)$, where $n\geq 2$ is an integer. Our main result establishes, under Generalised Ramanujan--Petersson Conjecture, that for almost all $x\sim X$ the short interval $[x,x+H]$ contains a subset $\mathcal S$ (resp. $\mathcal S')$ of size $\gg H(\log X)^{1/n^2-1}$ such that $A(m,1,...,1)$ is positive (resp. negative) for all $m\in\mathcal S$ (resp. $m\in\mathcal S'$), provided that $(\log X)^{1-1/n^2}\ll H\ll X$. We also prove a slightly stronger result unconditionally for $\mathrm{GL}_2$ and $\mathrm{GL}_3$ Hecke--Maass cusp forms. In addition, we obtain results under weaker bounds towards Generalised Ramanujan--Petersson Conjecture. Finally, as a by-product of our methods, we improve earlier bounds for the number of Hecke eigenvalues of same sign also in long intervals unconditionally for $\mathrm{GL}_2$ and $\mathrm{GL}_3$ Hecke--Maass cusp forms, and under Generalised Ramanujan--Petersson Conjecture for $\mathrm{GL}_n$ forms when $n\geq 4$.

发表机构

• University of Helsinki（赫尔辛基大学）

机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。

补充信息

备注

24 pages