发表机构
Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences; Leiden University; Delft University of Technology（马克斯·普朗克科学促进学会数理研究所; 莱顿大学; 代尔夫特理工大学）
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本文研究带非线性Stratonovich噪声的薛定谔方程，结合随机Strichartz估计与经典方法，在能量空间中获得局部适定性，并改进爆破准则，对线性乘性噪声和次临界情形证明全局适定性。
AI 中文摘要
我们研究具有非线性 Stratonovich 噪声的非线性薛定谔方程 \begin{equation*} \mathrm{d} u\\,=\\, i\bigl[ \Delta u \\, + \\, \lambda|u|^{p-1}u\bigr] \\, \mathrm{d} t \\, + \\,i|u|^{(q-1)/2}u\circ \mathrm{d} {W}, \end{equation*} 在其能量空间 $H^1(\mathbb R^d;\mathbb C)$ 中的性质。通过将 [Potential Anal. 41 (2014), pp. 269--315] 中导出的随机 Strichartz 估计与 [Ann.\\ Inst.\\ H.\\ Poincaré Phys.\\ Théor.\\ 46 (1987), pp. 113--129] 中的方法相结合，我们获得了所有能量次临界非线性 $p,q\in [1, 1+4/(d-2)_+)$ 的局部适定性，以及相应的爆破替代。对于线性乘性噪声 $q=1$、实值噪声 $W$ 和散焦非线性 $\lambda\le 0$，我们利用能量界来验证此爆破条件，从而得到方程的全局适定性。如果两个非线性都是质量次临界的，即 $p,q\in [1, 1+4/d)$，我们提供了一个改进的爆破准则，涉及 $L^2(\mathbb R^d;\mathbb C)$ 范数。利用实值 $W$ 的质量守恒，我们在此情况下也获得了全局适定性。与先前关于随机非线性薛定谔方程的结果相比，我们因此改进了指数 $p$ 和 $q$ 的范围以及对噪声的空间正则性假设。
英文摘要
We study nonlinear Schrödinger equations with nonlinear Stratonovich noise \begin{equation*} \mathrm{d} u\,=\, i\bigl[ Δu \,+\, λ|u|^{p-1}u\bigr] \, \mathrm{d} t \,+\,i|u|^{(q-1)/2}u\circ \mathrm{d} {W}, \end{equation*} in their energy space $H^1(\mathbb R^d;\mathbb C)$. By combining the stochastic Strichartz estimates derived in [Potential Anal. 41 (2014), pp.\ 269--315] with the approach from [Ann.\ Inst.\ H.\ Poincaré Phys.\ Théor.\ 46 (1987), pp.\ 113--129] we obtain local well-posedness for all energy-subcritical nonlinearities $p,q\in [1, 1+4/(d-2)_+)$ together with a corresponding blow-up alternative. For a linear multiplicative noise $q=1$, a real-valued noise $W$ and a defocusing nonlinearity $λ\le 0$, we check this blow-up condition using a bound on the energy, resulting in the global well-posedness of the equation. If both nonlinearities are mass-subcritical, i.e., $p,q\in [1, 1+4/d)$, we provide an improved blow-up criterion involving the $L^2(\mathbb R^d;\mathbb C)$-norm. Using the conservation of mass for real-valued $W$, we obtain global well-posedness also in this case. Compared to previous results on stochastic nonlinear Schrödinger equations, we thereby improve the range of exponents $p$ and $q$ and the spatial regularity assumption on the noise.
Comments19 pages
