Jack 算符与形变 ${\mathcal W}_{1+\infty}$ 代数
Jack Content Operators and the Deformed ${\mathcal W}_{1+\infty}$ Algebra
- Laboratoire d’Informatique Gaspard-Monge, Université Gustave Eiffel, CNRS, ESIEE Paris（加斯帕尔-蒙日信息实验室，巴黎高等师范学院，法国国家科学研究中心，巴黎高等电子学院）
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AI总结：
本文在球面退化双仿射 Hecke 代数中发展 Jack 形变，通过 Hall 伴随和正规排序构造 Jack 切割-连接算符及稳定 3-循环算符，并在形变 $\mathcal W_{1+\infty}$ 代数中给出其 Virasoro 完备化。
AI中文摘要：
Frenkel 和 Wang 通过将 Goulden 的切割-连接算符与 Heisenberg 生成元交换，获得了 Virasoro 代数的一个表示。Lascoux 与作者给出的顶点算子构造通过微分算子将此表示推广到 $\mathcal W_{1+\infty}$，这些微分算子的特征值是 Young 图内容的幂和。我们在球面退化双仿射 Hecke 代数及其稳定极限中发展了 Jack 形变。从 Heckman--Polychronakos 积分出发，我们分离出特征值为 $\alpha$-内容幂和的算子。由于 Goulden--Jackson 乘积是在与通常 Calogero--Sutherland 哈密顿量对偶的约定下定义的，乘法算子 $\Delta_\mu(\alpha)$ 通过取 Hall 伴随得到。这给出了 Jack 切割-连接算符和稳定 $3$-循环算符的概念性推导。Sergeev 和 Veselov 的正规排序构造使后者的计算显式化，并暗示了在 $\mathbb Z[\alpha]$ 上的积分形式。切割-连接算符的对易子包含通常 Feigin--Fuchs 实现的一半，但此 Virasoro 完备化并非 Frenkel--Wang 构造的形变。后者发生在形变 $\mathcal W_{1+\infty}$ 代数 $\mathbf{SH}^c$ 中，等价地发生在 $\mathfrak{gl}_1$ 的仿射 Yangian 中：在我们的归一化下，其第一个非平凡 Cartan 模为 $\psi_3=3\Delta_2(\alpha)+2(\alpha-1)E$，其与第一个升、降模的对易子递归生成其余流。在 $\alpha=1$ 时，这些关系特化为 Lascoux 与作者使用的中心荷为 $1$ 的 $\mathcal W_{1+\infty}$ 表示。
英文摘要：
Frenkel and Wang obtained a representation of the Virasoro algebra by commuting Goulden's cut-and-join operator with the Heisenberg generators. A vertex-operator construction by Lascoux and the author extends this representation to $\mathcal W_{1+\infty}$ by means of differential operators whose eigenvalues are the power sums of the contents of a Young diagram. We develop a Jack deformation in the spherical degenerate double affine Hecke algebra and its stable limit. Starting from the Heckman--Polychronakos integrals, we isolate operators whose eigenvalues are the power sums of the $α$-contents. Because the Goulden--Jackson product is defined in the convention dual to the usual Calogero--Sutherland Hamiltonians, the multiplication operators $Δ_μ(α)$ are obtained by taking Hall adjoints. This gives conceptual derivations of the Jack cut-and-join operator and of the stable $3$-cycle operator. A normal-ordering construction due to Sergeev and Veselov makes the latter calculation explicit and suggests an integral form over $\mathbb Z[α]$. The commutators of the cut-and-join operator contain one half of the usual Feigin--Fuchs realization, but this Virasoro completion is not the deformation of the Frenkel--Wang construction. The latter takes place in the deformed $\mathcal W_{1+\infty}$ algebra $\mathbf{SH}^c$, equivalently in the affine Yangian of $\mathfrak{gl}_1$: in our normalization its first nontrivial Cartan mode is $ψ_3=3Δ_2(α)+2(α-1)E$, and its commutators with the first raising and lowering modes recursively generate the remaining currents. At $α=1$ these relations specialize to the central-charge-one $\mathcal W_{1+\infty}$ representation used by Lascoux and the author.
