关于Firey提出的唯一性问题的解答
On a question by Firey concerning uniqueness
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中文总结 AI 辅助
本文证明了对数凹且无内部零点的系数下，闭的$C^2_+$超曲面满足给定曲率方程时唯一性成立，肯定回答了Firey的问题。
中文摘要 AI 辅助
我们证明了曲率方程 $\sum_{j=1}^n \alpha_j E_j(\tau_{\mathcal{M}})=\sum_{j=1}^n \alpha_j E_j(\tau_{\mathcal{N}})$ 在 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中任意两个闭的 $C^2_+$ 超曲面 $\mathcal{M}, \mathcal{N}$ 上，当系数 $ (\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in\mathbb{R}_{\geq 0}^n\setminus\{0\}$ 为对数凹且无内部零点时，可推出它们相差一个平移的唯一性。这肯定地回答了Firey在 $C^2_+$ 类中提出的唯一性问题。
英文摘要
We prove that the curvature equation $\sum_{j=1}^n α_j E_j(τ_{\mathcal{M}})=\sum_{j=1}^n α_j E_j(τ_{\mathcal{N}})$ yields uniqueness up to translation for any two closed $C^2_+$ hypersurfaces $\mathcal{M}, \mathcal{N}\hookrightarrow\mathbb{R}^{n+1}$ whenever $(α_1,\ldots,α_n)\in\mathbb{R}_{\geq 0}^n\setminus\{0\}$ is log-concave and has no internal zeros. This gives an affirmative answer to a uniqueness question posed by Firey in the $C^2_+$ class.
