关于有限Dickson近域广义分配集的一个注记
A note on generalized distributive sets of a finite Dickson nearfield
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中文总结 AI 辅助
本文研究有限Dickson近域中广义分配集D(a,b)的性质，刻画其成为子域的条件，找出唯一最大子域，并给出非子域条件及本原正规基问题。
中文摘要 AI 辅助
设 $\mathbb{F}_{q^n}$ 为有限域，其中 $q=p^l$（$p$ 为素数），并设 $R$ 为与该域相关联的 Dickson 近域。本文研究了广义分配集 $D(a,b)$ 的基本性质，其中 $a,b\in R$。当 $n=1,2$ 时，该集合已有充分研究。对于 $n>2$，我们刻画了 $D(a,b)$ 成为 $\mathbb{F}_{q^n}$ 的子域的条件。此外，我们找到了包含在 $D(a,b)$ 中的 $\mathbb{F}_{q^n}$ 的唯一最大子域。我们还给出了保证 $D(a,b)$ 不是 $\mathbb{F}_{q^n}$ 的子域的一个条件。最后，我们提出了关于 $D(a,b)$ 作为 $\mathbb{F}_p$ 上的空间何时具有本原正规基的问题。
英文摘要
Let $\mathbb{F}_{q^n}$ be a finite field where $q=p^l$ ($p$ is a prime) and a Dickson nearfield $R$ associated to the field. In this note we investigate the basic properties of the generalized distributive set $D(a,b)$ where $a,b\in R$. The set is well-known when $n=1, 2$. For $n>2$, we characterize when $D(a,b)$ is a subfield of $\mathbb{F}_{q^n}$. Furthermore we find the unique largest subfield of $\mathbb{F}_{q^n}$ contained in $D(a,b)$. We also provide a condition to guarantee that $D(a,b)$ is not a subfield of $\mathbb{F}_{q^n}$. We end the note by posing the question of when $D(a,b)$, as a space over $\mathbb{F}_p$, has a primitive normal basis.
