Reiter-Heisenberg 群上的 Loomis-Whitney 不等式
Loomis-Whitney inequalities on Reiter-Heisenberg groups
AI总结：
本文通过 Brascamp-Lieb 与熵次可加性对偶及有限中心和稳定性原理，在 Reiter-Heisenberg 群上建立 Loomis-Whitney 不等式，并导出投影、GNS 及等周不等式。
AI中文摘要：
我们为 Reiter-Heisenberg 群 $\mathbb{G}_{qp}$ 建立了 Loomis-Whitney 不等式，这是一族第二步 Carnot 群，当 $q=1$ 时包含 Heisenberg 群。证明基于 Brascamp-Lieb 不等式与熵次可加性之间的对偶性：我们首先利用条件熵和微分熵在保体积微分同胚下的不变性，从第一个 Heisenberg 群上的已知不等式推导出 $\mathbb{G}_{q1}$ 的结果；然后通过有限中心和的 Loomis-Whitney 不等式稳定性原理，从 $\mathbb{G}_{q1}$ 过渡到 $\mathbb{G}_{qp}$，该原理推广了 (Zhang, 2024 arXiv:2402.02749v2) 中的论证。作为推论，我们得到了相关的几何投影不等式、Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 不等式和一个等周不等式。
英文摘要：
We establish a Loomis-Whitney inequality for the Reiter-Heisenberg groups $\mathbb{G}_{qp}$, a family of step-two Carnot groups that includes the Heisenberg groups when $q=1$. The proof is based on the duality between Brascamp-Lieb inequalities and entropy subadditivity: we first derive the result for $\mathbb{G}_{q1}$ from the known inequality on the first Heisenberg group, using conditional entropy and the invariance of differential entropy under volume-preserving diffeomorphisms; then we pass from $\mathbb{G}_{q1}$ to $\mathbb{G}_{qp}$ via a stability principle for Loomis-Whitney inequalities under finite central sums, which generalizes the argument in (Zhang, 2024 arXiv:2402.02749v2). As consequences, we obtain the associated geometric projection inequality, a Gagliardo-Nirenberg-Sobolev inequality, and an isoperimetric inequality.
