AI 中文总结
本文证明全离散欧几里得球极大算子在所有 $1<p\leq\infty$ 上具有与维数无关的有界性，解决了 Stein 在 1990 年代中期提出的问题，核心方法是通过乘子的渐近展开并利用离散高斯极大算子的控制。
AI 中文摘要
设 $M_t$ 表示在 $\mathbb{Z}^d$ 中半径为 $t$ 的欧几里得球内格点上的归一化平均。我们证明，对于每个 $1<p\leq\infty$，全极大算子 $f\mapsto\sup_{t\geq0}\lvert M_t f\rvert$ 在 $\ell^p(\mathbb{Z}^d)$ 上有界，且常数与维数无关。特别地，这解决了 E.M. Stein 在 1990 年代中期提出的一个问题。我们证明的主要成分是：当 $t\lesssim d$ 且 $t$ 足够大时，相关的乘子 $\mathfrak{m}_{\sqrt{\lfloor t^2\rfloor}}(\xi)$ 允许任意指定阶数的渐近展开，且在 $\xi$ 上一致，由此得到的极大算子可由 Mirek--Szarek--Wróbel 研究的离散归一化高斯极大算子控制 \cite{MSW25}。
英文摘要
Let $M_t$ denote the normalized average over the lattice points in the Euclidean ball of radius $t$ in $\mathbb{Z}^d$. We prove that the full maximal operator $f\mapsto\sup_{t\geq0}\lvert M_t f\rvert$ is bounded on $\ell^p(\mathbb{Z}^d)$, for every $1<p\leq\infty$, with a constant independent of the dimension. In particular, this resolves a question of E.M. Stein from the mid 1990s. The principal ingredient in our proof is that, when $t\lesssim d$ with $t$ sufficiently large, the associated multiplier $\mathfrak{m}_{\sqrt{\lfloor t^2\rfloor}}(ξ)$ admits an asymptotic expansion of arbitrary prescribed order, uniform in $ξ$, whose resulting maximal operators can be controlled by the discrete normalized Gaussian maximal function studied by Mirek--Szarek--Wróbel \cite{MSW25}.
Comments29 pages; Revised version. Mainly added a comparison with the concurrent papers arXiv:2609.08433 and arXiv:2609.10763, and updated the AI declaration
