范数形式方程的束与Thomas猜想，II
Pencils of norm form equations and a conjecture of Thomas, II
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中文总结 AI 辅助
本文推广了参数化范数形式方程的研究，在温和条件下证明任意整数q的方程解具有多项式有界性，并给出八变量例子。
中文摘要 AI 辅助
我们继续研究参数化范数形式 $F_t({\bf x})$，其中 ${\bf x}=(x_0,x_1,\ldots,x_{d-1})$ 位于某个参数化线性子簇 $W_t$ 中，且整数 $t$ 充分大。在之前的论文 [Am-Ma-Za2] 中，我们证明了方程 $F_t({\bf x})=1$ 的整数解 $\bf x$ 的一些有效特殊化结果。这里我们修改我们的技术以处理任意整数 $q$ 的方程 $F_t({\bf x})=q$。在温和条件下（但不包括 [Am-Ma-Za2] 中的关键指数假设），我们证明所有 $\bf x$ 均以 $|q|$ 和 $t$ 的多项式形式有界。与 [Am-Ma-Za2] 类似，我们使用论文 [Am-Ma-Za] 中基于丢番图逼近技术的方法来界定某些高度。特别地，我们不使用对数线性形式，而且事实上，即使对于 $x_2=\cdots=x_{d-1}=0$ 的二元Thue方程，这些方法似乎也不太可能导出这样的多项式界。我们给出了一个包含八个变量的例子。
英文摘要
We continue our studies on parametric norm forms $F_t({\bf x})$, with ${\bf x}=(x_0,x_1,\ldots,x_{d-1})$ lying in some parametric linear subvariety $W_t$ and integers $t$ sufficiently large. In a previous paper [Am-Ma-Za2] we proved some effective specialization results for integer solutions $\bf x$ of $F_t({\bf x})=1$. Here we modify our techniques to treat $F_t({\bf x})=q$ for an arbitrary integer $q$. Under mild conditions (not however including the crucial index assumption in [Am-Ma-Za2]) we show that all $\bf x$ are polynomially bounded in terms of $|q|$ and $t$. As in [Am-Ma-Za2] we use the methods of our paper[Am-Ma-Za] based on diophantine approximation techniques to bound certain heights. In particular we do not use linear forms in logarithms and indeed it seems unlikely that those can lead to such polynomial bounds, even for Thue equations in two variables with $x_2=\cdots=x_{d-1}=0$. We present an example with eight variables.
