发表机构
Jagiellonian University; Université de Toulouse; CNRS UPS（雅盖隆大学; 图卢兹大学；法国国家科学研究中心UPS）
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本文构造双圆盘上Dirichlet型空间中的循环函数，其循环性临界指标由零集在环面上的Hausdorff维数决定。
AI 中文摘要
考虑由$$\u200b\mathcal{D}_{\beta}(\mathbb{D}^2)=\Bigg\{f(z_1,z_2)=\sum_{k,l}a_{kl}z_1^kz_2^l\in\mathcal{O}(\mathbb{D}^2): \sum_{k,l\ge 0}|a_{kl}|^2(k+l+1)^{\beta}<+\infty\Bigg\}$$定义的双圆盘上的Dirichlet型空间。给定$\beta_c\in(0,2],$我们构造一个属于双圆盘Dirichlet型空间$\mathcal D_{2}(\mathbb{D}^2)$的函数$f$，且$f$在$\mathcal D_\beta(\mathbb{D}^2)$中循环当且仅当$\beta\leq \beta_{c}.$我们还证明临界指标满足$\beta_c=2-\mathrm{dim}_H(\mathcal{Z}(f)\cap \mathbb{T}^2),$其中$\mathrm{dim_H}(\mathcal{Z}(f)\cap \mathbb{T}^2)$是函数$f$在二维环面$\mathbb{T}^2$上零集的Hausdorff维数。
英文摘要
Consider the Dirichlet-type spaces on the bidisc defined by $$\mathcal{D}_β(\mathbb{D}^2)=\Bigg\{f(z_1,z_2)=\sum_{k,l}a_{kl}z_1^kz_2^l\in\mathcal{O}(\mathbb{D}^2): \sum_{k,l\ge 0}|a_{kl}|^2(k+l+1)^β<+\infty\Bigg\}.$$ Given $β_c\in(0,2],$ we construct a function $f$ that belongs to the Dirichlet-type space $\mathcal D_{2}(\mathbb{D}^2)$ of the bidisk and is cyclic in $\mathcal D_β(\mathbb{D}^2)$ if and only if $β\leq β_{c}.$ We also show that the critical index satisfies $β_c=2-\mathrm{dim}_H(\mathcal{Z}(f)\cap \mathbb{T}^2),$ where $\mathrm{dim_H}(\mathcal{Z}(f)\cap \mathbb{T}^2)$ is the Hausdorff dimension of the zero set of the function $f$ on the two-torus $\mathbb{T}^2.$
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