发表机构
Dipartimento di Matematica Università di Torino（都灵大学数学系）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文研究不定权 Minkowski 平均曲率 Neumann 问题，利用 Szulkin 非光滑理论证明大参数下两个正解的存在性，并分析其渐近行为与几何约束饱和特性。
AI 中文摘要
我们研究 Neumann 边值问题 $$ -\operatorname{div}\left(\frac{\nabla u}{\sqrt{1-|\nabla u|^2}}\right) = \lambda a(x)g(u) \quad \text{in } \Omega, \qquad \frac{\nabla u}{\sqrt{1-|\nabla u|^2}}\cdot \mathbf n = 0 \quad \text{on } \partial\Omega, $$ 其中 $\Omega \subset \mathbb R^N$ 是有界凸区域，$a\in L^\infty(\Omega)$ 是满足 $\int_\Omega a < 0$ 的不定权，$g$ 是非线性项。在对 $g$ 的适当假设下，我们利用 Szulkin 的非光滑泛函理论证明了：对充分大的 $\lambda>0$，存在两个正解——一个是具有负能量的全局极小元 $u_\lambda^{(l)}$，另一个是具有正能量的山路临界点 $u_\lambda^{(s)}$。此外，在模型情形 $g(u) = |u|^{p-2} u$ 中，我们研究了两解在 $\lambda \to +\infty$ 时的渐近行为。我们证明了山路能量水平以显式速率 $c_\lambda = O(\lambda^{-2/(p-2)})$ 衰减，且 $u_\lambda^{(s)} \to 0$ 在 $C(\overline\Omega)$ 中成立；同时，我们证明了 $u_\lambda^{(l)} \to u_\infty$ 一致收敛，其中 $u_\infty$ 求解一个约束最大化问题。极限轮廓 $u_\infty$ 饱和了几何约束，即 $\\|\nabla u_\infty\\|_{L^\infty(\Omega)}=1$，并且在梯度约束不活跃且 $a\neq 0$ 的每个连通开集上，函数 $u_\infty$ 是常数。
英文摘要
We study the Neumann boundary value problem $$ -\operatorname{div}\left(\frac{\nabla u}{\sqrt{1-|\nabla u|^2}}\right) = λa(x)g(u) \quad \text{in } Ω, \qquad \frac{\nabla u}{\sqrt{1-|\nabla u|^2}}\cdot \mathbf n = 0 \quad \text{on } \partialΩ, $$ where $Ω\subset \mathbb R^N$ is a bounded convex domain, $a\in L^\infty(Ω)$ is an indefinite weight with $\int_Ωa < 0$, and $g$ is a nonlinearity. Under suitable assumptions on $g$, we prove the existence of two positive solutions for sufficiently large $λ>0$, using Szulkin's theory for nonsmooth functionals: a global minimizer $u_λ^{(l)}$ with negative energy, and a mountain-pass critical point $u_λ^{(s)}$ with positive energy. Furthermore, we study the asymptotic behaviour of both solutions as $λ\to +\infty$ in the model case $g(u) = |u|^{p-2} u$. We show that the mountain-pass energy level decays at the explicit rate $c_λ= O(λ^{-2/(p-2)})$, and that $u_λ^{(s)} \to 0$ in $C(\overlineΩ)$; moreover, we prove that $u_λ^{(l)} \to u_\infty$ uniformly, where $u_\infty$ solves a constrained maximization problem. The limiting profile $u_\infty$ saturates the geometric constraint, $\|\nabla u_\infty\|_{L^\infty(Ω)}=1$, and on every connected open set where the gradient constraint is inactive and $a\neq 0$, the function $u_\infty$ is constant.
