通过超群提升强分次环
Lifting strongly graded rings via overgroups
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中文总结 AI 辅助
本文研究强分次环通过超群提升的问题，构造相对第三上同调特征类刻画提升存在性，并证明分次强性与正规子群限制及商分次的等价条件。
中文摘要 AI 辅助
受主丛提升问题的启发，我们研究以下代数问题。设 $\smash{\widehat{G}}$ 为具有单位元 $e$ 的群，$G \leq \smash{\widehat{G}}$，并设 $S$ 为强 $G$-分次幺环，其主分量 $R:=S_e$。我们询问给定的分次能否扩展为强 $\smash{\widehat{G}}$-分次而不改变其 $G$-齐次分量。对于 $S$ 的 Picard 同态的每个扩展 $\smash{\widehat{p}}$，我们在相对第三上同调群 \\[ H^3_{\smash{\widehat{p}}}(\smash{\widehat{G}},G;\operatorname{U}(Z(R))) \\] 中构造一个特征类，其中 $Z(R)$ 表示 $R$ 的中心，$\operatorname{U}(Z(R))$ 表示其单位群。此类的消失等价于提升的存在性。当它消失时，相对第二上同调群 \\[ H^2_{\smash{\widehat{p}}}(\smash{\widehat{G}},G;\operatorname{U}(Z(R))) \\] 在具有 Picard 同态 $\smash{\widehat{p}}$ 的提升的等价类上简单传递地作用。我们还证明了 $H$-分次是强的当且仅当它到正规子群 $N \trianglelefteq H$ 的限制及其诱导的 $H/N$-分次都是强的。我们通过一系列例子说明该理论。
英文摘要
Motivated by lifting problems for principal bundles, we study the following algebraic problem. Let $\smash{\widehat{G}}$ be a group with identity element $e$, let $G \leq \smash{\widehat{G}}$, and let $S$ be a strongly $G$-graded unital ring with principal component $R:=S_e$. We ask whether the given grading extends to a strong $\smash{\widehat{G}}$-grading without altering its $G$-homogeneous components. For every extension $\smash{\widehat{p}}$ of the Picard homomorphism of $S$, we construct a characteristic class in the relative third cohomology group \[ H^3_{\smash{\widehat{p}}}(\smash{\widehat{G}},G;\operatorname{U}(Z(R))), \] where $Z(R)$ denotes the center of $R$ and $\operatorname{U}(Z(R))$ its group of units. The~vanishing of this class is equivalent to the existence of a lift. When it vanishes, the relative second cohomology group \[ H^2_{\smash{\widehat{p}}}(\smash{\widehat{G}},G;\operatorname{U}(Z(R))) \] acts simply transitively on the equivalence classes of lifts with Picard homomorphism $\smash{\widehat{p}}$. We also prove that an $H$-grading is strong if and only if both its restriction to a normal subgroup $N \trianglelefteq H$ and its induced $H/N$-grading are strong. We illustrate the theory through a range of examples.
发表机构
- Linnaeus university（林奈大学）
- Blekinge Institute of Technology（布莱金厄理工学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
