$\mathbb{P}^k$ 的一般自同态具有平凡的迭代中心化子
A general endomorphism of $\mathbb{P}^k$ has trivial iterated centralizer
- Université Bourgogne Europe, CNRS, IMB UMR 5584（勃艮第欧洲大学，法国国家科学研究中心，数学研究所）
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AI总结：
本文证明一般全纯自同态（及正则多项式自同态）的迭代中心化子平凡，即与其迭代可交换的自同态必为其迭代，并应用于刻画特殊超曲面。
AI中文摘要：
固定整数 $k,d\geq2$。设 $\operatorname{End}_d^k$ 表示 $\mathbb{P}^k$ 上代数次数为 $d$ 的全纯自同态的参数空间。我们证明存在一个在 $\mathbb{Q}$ 上定义的稠密 Zariski 开子集 $U_{d,k}\subset\operatorname{End}_d^k$，使得对于每个 $f\in U_{d,k}(\mathbb{C})$，每个与 $f$ 的某个迭代可交换的非恒定自同态 $g:\mathbb{P}^k\to\mathbb{P}^k$ 本身是 $f$ 的某个迭代。对于 $\mathbb{C}^k$ 的正则多项式自同态，也存在类似的稠密 Zariski 开子集。证明使用了有限级单演及其在 $f$ 的某个迭代的分支轨迹之外一点的根前像树上的作用。作为应用，我们证明对于一般的 $f\in\operatorname{End}_d^k$，$\mathbb{P}^k$ 的一个不可约超曲面在 Ghioca--Tucker 和 DeMarco--Mavraki 意义下是 $f$-特殊的当且仅当它是 $f$-预周期的。
英文摘要：
Fix integers $k,d\geq2$. Let $\mathrm{End}_d^k$ denote the parameter space of endomorphisms of $\mathbb{P}^k$ of algebraic degree $d$. We prove that there exists a dense Zariski open subset $U_{d,k}\subset\mathrm{End}_d^k$, defined over $\mathbb{Q}$, such that, for every $f\in U_{d,k}(\mathbb{C})$, every dominant rational self-map of $\mathbb{P}^k$ commuting with an iterate of $f$ is itself an iterate of $f$. The key intermediate result classifies dominant rational semiconjugacies to iterates of $f$ from normal projective varieties of dimension $k$. The proof uses finite-level monodromy and its action on the rooted preimage tree of a point outside the branch locus of an iterate of $f$. An analogous centralizer theorem holds generically for regular polynomial endomorphisms of $\mathbb{C}^k$. These results extend several theorems of Pakovich to higher dimensions. We give two applications. We first classify periodic dominant correspondences between a general endomorphism and an arbitrary endomorphism of degree at least two. We then show that, for a general $f\in\mathrm{End}_d^k$, an irreducible hypersurface of $\mathbb{P}^k$ is $f$-special in the sense of Ghioca--Tucker and DeMarco--Mavraki if and only if it is $f$-preperiodic.
