发表机构
Institut universitaire de France (IUF), Université de Lorraine, CNRS, LORIA; Université de Lorraine, CNRS, Inria, LORIA（法国大学研究院、洛林大学、法国国家科学研究中心、洛林信息、自动化与随机系统实验室; 洛林大学、法国国家科学研究中心、法国国家信息与自动化研究所、洛林信息、自动化与随机系统实验室）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文提出双曲曲面上的高效算法，包括两点距离、距离查询、狄利克雷域重定位及直径近似与精确计算，核心贡献在于消除多面体结构假设，实现亏格相关的多项式时间算法。
AI 中文摘要
尽管双曲曲面在数学中占有重要地位，但关于它们的基本算法问题，甚至计算两点之间的距离，仍然悬而未决，这使得这些曲面的许多特征难以触及。经典方法假设存在多面体结构，而光滑曲面上并不具备这种结构。我们消除了这些障碍。我们首先提出一个高效的 $O(g^2)$ 算法来计算两点之间的距离，其中 $g$ 是曲面的亏格。在此基础上，我们获得了一个 $O(g^2 \log g)$ 的方法来回答来自固定源点的距离查询，并由此实现了将狄利克雷域围绕任意点重新居中。这种对曲面上距离的理解使我们能够在 $O(g^3 \log g / \eps^2)$ 时间内将直径近似到任意 $\eps$ 精度。我们进一步证明，直径——这个编码了曲面大量信息的单一实数——是可以精确计算的。其双曲余弦是定义曲面的双曲等距系数所编码域上的一个代数数。
英文摘要
Despite the prominence of hyperbolic surfaces in mathematics, basic algorithmic questions about them, even computing the distance between two points, have remained open, leaving many features of these surfaces inaccessible. The classical machinery assumes a polyhedral structure absent on a smooth surface. We remove these obstacles. We begin with an efficient $O(g^2)$ algorithm for the distance between two points, where $g$ is the genus of the surface. Building on it, we obtain an $O(g^2 \log g)$ method for answering distance queries from a fixed source and, as a consequence, for recentering a Dirichlet domain around an arbitrary point. This understanding of distances on the surface then lets us approximate the diameter to within any $\eps$ in time $O(g^3 \log g / \eps^2)$. We further show that the diameter, a single real number encoding a great deal about the surface, is exactly computable. Its hyperbolic cosine is an algebraic number over the field encoding the coefficients of the hyperbolic isometries defining the surface.
