一个非 $K_1$-内射的简单 C$^*$-代数
A simple C$^*$-algebra which is not $K_1$-injective
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中文总结 AI 辅助
本文构造了一个单的单位元无限维 C$^*$-代数，其 $K_1$-内射性失败，通过推广 Villadsen 的矩阵陷阱技术，利用 $\pi_4(U(2))$ 的生成元作为种子，并借助自旋配边障碍完成证明。
中文摘要 AI 辅助
我们展示了一个单的、单位元的、无限维的 C$^*$-代数 $A$，它不是 $K_1$-内射的，即典范映射 $U(A)/U_0(A)\longrightarrow K_1(A)$ 不是单射。这一现象在非单的情形下是众所周知的。实际上，一个自然的例子是 $\pi_4(U(2))\cong\mathbb{Z}/2$ 的生成元 $u$，而我们正是以这个例子作为我们构造的种子。该构造通过在同质代数中发展一种高阶矩阵陷阱技术来进行，该技术推广了 Villadsen 在高稳定秩单 C$^*$-代数中的机制。我们证明，在某个同质代数中，从 $u$ 的同态像到恒等元的假设同伦，通过矩阵陷阱，会产生一个从 $u$ 的类到 $M_2$ 中恒等矩阵 $\mathrm{1}_2$ 的类的自旋配边，而这反过来又被 $u$ 的配边类非平凡这一事实所阻碍。然后，我们将我们的新论证融入 Villadsen 高稳定秩构造的推广版本中，从而得到一个单的例子。
英文摘要
We exhibit a simple unital infinite-dimensional C$^*$-algebra $A$ which is not $K_1$-injective, i.e., the canonical map $ U(A)/U_0(A)\longrightarrow K_1(A)$ is not injective. This phenomenon is well known in the non-simple case. Indeed, a natural example is the generator $u$ of $π_4(U(2))\cong\mathbb{Z}/2$, and we use exactly this example as the seed of our construction. The construction proceeds by developing a higher-rank matrix trapping technique in homogeneous algebras generalizing the machinery of Villadsen in higher stable rank simple C$^*$-algebras. A hypothetical homotopy from the homomorphic image of $u$ to the identity in a certain homogeneous algebra is shown, through matrix trapping, to yield a spin bordism from the class of $u$ to that of the identity matrix $\mathrm{1}_2 \in M_2$, and this, in turn, is obstructed by the fact that the bordism class of $u$ is not trivial. We then fit our new arguments into a generalized version of Villadsen's higher stable rank construction to arrive at a simple example.
