AI 中文总结
本文通过 Stanley 分解将 Monge 多胞体体积转化为 Z-avoiding Delannoy 路径求和，并用动态规划高效计算高维体积，同时给出 Ehrhart 级数的组合闭式。
AI 中文摘要
Monge 矩阵广泛出现在组合优化和算法设计中；Monge 多胞体 $\mathcal{M}_{pq}$ 是位于矩阵坐标集上的标准单纯形内的所有 $p \times q$ Monge 矩阵的集合。我们找到了相关仿射半群的 Stanley 分解，并利用它得到了 $\mathcal{M}_{pq}$ 的体积公式，该公式表示为 $p \times q$ 网格中“避免 Z”的 Delannoy 路径上的求和。该公式的高效动态规划实现能够计算远超通用精确体积算法可达范围的维数（例如，$\mathcal{M}_{20,20}$ 的体积，其维数为 399，可在不到一秒内计算完成）。作为我们 Stanley 分解的一个推论，我们还得到了 $\mathcal{M}_{pq}$ 的 Ehrhart 级数的组合闭式表达式。
英文摘要
Monge matrices arise throughout combinatorial optimization and algorithm design; the Monge polytope $\mathcal{M}_{pq}$ is the set of $p \times q$ Monge matrices lying inside the standard simplex on the set of matrix coordinates. We find a Stanley decomposition of the associated affine semigroup, and use it to obtain a volume formula for $\mathcal{M}_{pq}$ expressed as a sum over "Z-avoiding" Delannoy paths in a $p \times q$ grid. An efficient dynamic-programming implementation of this formula computes the volume in dimensions far beyond the reach of general-purpose exact-volume algorithms (e.g., the volume of $\mathcal{M}_{20,20}$, which has dimension 399, is computed in a fraction of a second). As a corollary of our Stanley decomposition, we also obtain a combinatorial closed form for the Ehrhart series of $\mathcal{M}_{pq}$.
Comments31 pages
