发表机构
University of Isfahan（伊斯法罕大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文研究连通循环四度图中正则集的存在性，建立了$(0,|S|)$-正则集的充要条件，并证明了$(|S|,0)$和$(1,|S|)$-正则集不存在，最终确定了所有参数下正则集的存在性。
AI 中文摘要
对于图 $\Gamma=(V,E)$ 以及非负整数 $a$ 和 $b$，非空真子集 $C \subset V$ 被称为 $(a,b)$-正则集，如果 $C$ 中每个顶点在 $C$ 中恰好有 $a$ 个邻居，且 $V\setminus C$ 中每个顶点在 $C$ 中恰好有 $b$ 个邻居。本文研究连通Cayley图 $\Gamma = \operatorname{Cay}(\mathbb{Z}_n, S)$ 中此类集合的存在性。我们建立了 $(0, |S|)$-正则集存在的充要条件，并确定了不存在此类集合的额外条件。我们进一步证明 $(|S|, 0)$-正则集在 $\Gamma$ 中不会出现，更一般地，任何连通Cayley图 $\operatorname{Cay}(G,S)$ 都不包含 $(1, |S|)$-正则集。作为主要结果，我们确定了连通循环四度图中对所有可能的 $a$ 和 $b$ 值，$(a,b)$-正则集的存在性与不存在性。
英文摘要
For a graph $Γ=(V,E)$ and nonnegative integers $a$ and $b$, a nonempty proper subset $C \subset V$ is called an $(a,b)$-regular set if every vertex in $C$ has exactly $a$ neighbors in $C$, and every vertex in $V\setminus C$ has exactly $b$ neighbors in $C$. In this paper, we study the existence of such sets in connected Cayley graph $Γ= \operatorname{Cay}(\mathbb{Z}_n, S)$. We establish a necessary and sufficient condition for the existence of $(0, |S|)$-regular sets and identify additional conditions under which no such set can exist. We further prove that $(|S|, 0)$-regular sets do not occur in $Γ$, and more generally, that no connected Cayley graph $\operatorname{Cay}(G,S)$ contains a $(1, |S|)$-regular set. As a main result, we determine the existence and nonexistence of $(a,b)$-regular sets in connected circulant quartic graphs for all possible values of $a$ and $b$.
