发表机构
Tel Aviv University; Hebrew University of Jerusalem（特拉维夫大学; 耶路撒冷希伯来大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文研究代数数集合的乘积在簇中的Zariski稠密性，证明广义拉盖尔多项式根等经典族满足不可能交点定理，并推广了Ihara、Serre、Tate定理及Manin-Mumford猜想。
AI 中文摘要
给定一个代数数集合 $\mathcal{S}\subset \overline{\mathbb{Q}}$，我们研究 $\mathbb{A}^m_\mathbb{C}$ 中的簇 $V$，使得 $V(\mathbb{C})\cap\mathcal{S}^m$ 在 $V$ 中是 Zariski 稠密的。我们证明，对于许多经典的代数数族 $\mathcal{S}$——例如广义拉盖尔多项式 $L_n^{(\alpha)}(x)$ 的根族，其中 $\alpha\in \mathbb{Q}$ 取有限集合——一个不可能交点定理成立。例如，在 $m=2$ 的情形下，我们证明 $\mathbb{A}^2_\mathbb{C}$ 中的一条不可约曲线具有来自 $\mathcal{S}^2$ 的无穷多个点，当且仅当它具有形式 $x_1=x_2$，或 $x_1=s$，或 $x_2=s$，其中 $s\in \mathcal{S}$ 固定。这是 Ihara、Serre 和 Tate 经典定理的类比，这些定理处理 $\mathcal{S}$ 由单位根组成的情形，同时也是 Manin--Mumford 猜想的类比。我们还证明，对于次数增长且有界高度的随机多项式集合的根，类似结果几乎必然成立。证明依赖于一个统一的伽罗瓦理论判据，该判据确保不可能交点性质。
英文摘要
Given a collection of algebraic numbers $\mathcal{S}\subset \overline{\mathbb{Q}}$ we study the varieties $V$ in $\mathbb{A}^m_\mathbb{C}$ such that $V(\mathbb{C})\cap\mathcal{S}^m$ is Zariski-dense in $V$. We show that for many classical families of algebraic numbers $\mathcal{S}$---such as the family of roots of generalized Laguerre polynomials $L_n^{(α)}(x)$, for a finite collection of $α\in \mathbb{Q}$---an unlikely intersections theorem holds. For example, in the case $m=2$, we prove that an irreducible curve in $\mathbb{A}^2_\mathbb{C}$ has infinitely many points from $\mathcal{S}^2$ if and only if it is of the form $x_1=x_2,$ or $x_1=s$, or $x_2=s$ for a fixed $s \in \mathcal{S}$. This is an analogue of the classical theorems of Ihara, Serre, and Tate, treating the case of $\mathcal{S}$ consisting of the roots of unity, and of the Manin--Mumford conjecture. We also show that a similar result holds almost surely for roots of a collection of random polynomials of growing degree and bounded height. The proofs rely on a uniform Galois-theoretic criterion ensuring the unlikely intersection property.
