凸锥上的单调不变估值
Monotone invariant valuations on convex cones
- Mathematics Institute, University of Warwick（华威大学数学研究所）
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AI总结：
本文分类了闭凸锥空间上的单调旋转不变估值，证明其为具有递增系数的锥体内蕴体积线性组合，并解决了McMullen猜想。
AI中文摘要：
我们分类了所有闭凸锥空间上的单调 $\SOn d$-不变估值，其中 $d\ge2$。它们恰好是具有递增系数的锥体内蕴体积的线性组合，或者等价地，内蕴体积尾部的非负线性组合，再加上一个加性常数。在非零尖锥上，我们通过格拉斯曼角获得了相应的刻画，解决了McMullen的一个猜想。每个这样的估值在球面Hausdorff拓扑下自动连续，并且是 $\On d$-不变的。我们的证明建立在Wang和Wu对球面Hadwiger定理的证明之上。
英文摘要：
We classify the monotone $\SOn d$-invariant valuations, $d\ge2$, on the space of all closed convex cones. They are precisely the linear combinations of the conic intrinsic volumes with nondecreasing coefficients, or equivalently, the nonnegative linear combinations of intrinsic volume tails, up to an additive constant. On nonzero pointed cones we obtain the corresponding characterisation by Grassmann angles, settling a conjecture of McMullen. Every such valuation is automatically continuous in the spherical Hausdorff topology and is $\On d$-invariant. Our proof builds on the signed simplex and averaging arguments of Wang and Wu, but does not rely on the continuous classification theorem.
