AI 中文总结
本文证明了在非负 Ricci 曲率完备开流形中，若万有覆盖具有欧几里得体积增长，则五维情形下基本群有限生成且虚 $\mathbb Z^k$，并在六维情形下获得定量虚阿贝尔性结果。
AI 中文摘要
设 $M$ 为具有非负 Ricci 曲率的完备开 $5$ 维流形。若其万有覆盖 $\tilde M$ 具有欧几里得体积增长，则 $\pi_1(M)$ 是有限生成的，且对某个 $0\le k\le4$ 是虚 $\mathbb Z^k$ 的。这证实了 Pan 和 Rong 在五维情形下的一个猜想 \cite{PR18}；另见 \cite{BNS25,BrNaSe25}。在六维情形下，在相同的体积增长假设下，我们还在不假设基本群有限生成的情况下获得了定量虚阿贝尔性结果。
英文摘要
Let $M$ be a complete open $5$-manifold with nonnegative Ricci curvature. If its universal cover $\tilde M$ has Euclidean volume growth, then $π_1(M)$ is finitely generated and virtually $\mathbb Z^k$ for some $0\le k\le4$. This confirms a conjecture of Pan and Rong \cite{PR18} in dimension five; see also \cite{BNS25,BrNaSe25}. In dimension six, under the same volume growth assumption, we also obtain a quantitative virtual abelianness result without assuming finite generation of the fundamental group.
