AI 中文总结
本文证明任意群中 $n$ 个陪集并集的补集可由至多 $2^n$ 个左平移覆盖，有限情形给出下界并解决猜想，同时改进 Neumann 引理。
AI 中文摘要
设 $g_1H_1,\ldots,g_nH_n$ 是群 $G$ 的子群的左陪集，其并集 $U$ 是 $G$ 的真子集。我们证明 $G$ 至多是 $A:=G\setminus U$ 的 $2^n$ 个左平移的并集。对于有限群 $G$，这给出 $|A|\ge|G|/2^n$，从而解决了 Tărnăuceanu 与作者的一个猜想。等式 $|A|=|G|/2^n$ 仅在 $A$ 是 $K:=H_1\cap\ldots\cap H_n$ 的左陪集时成立。此外，任意群被 $n$ 个陪集无冗余覆盖时，其中出现的每个子群的指数至多为 $2^{n-1}$。这改进了 Neumann 的一个引理。
英文摘要
Let $g_1H_1,\ldots,g_nH_n$ be left cosets of subgroups of a group $G$ whose union $U$ is a proper subset of $G$. We prove that $G$ is the union of at most $2^n$ left translates of $A:=G\setminus U$. For finite $G$ this yields $|A|\ge|G|/2^n$, which settles a conjecture of Tărnăuceanu and the author. Equality $|A|=|G|/2^n$ can only hold when $A$ is a left coset of $K:=H_1\cap\ldots\cap H_n$. Moreover, every subgroup occurring in an irredundant cover of an arbitrary group by $n$ cosets has index at most $2^{n-1}$. This improves a lemma of Neumann.
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