各向异性极小图的增长间隙
A growth gap for anisotropic minimal graphs
- School of Mathematics, Hunan University（湖南大学数学学院）
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AI总结：
本文证明各向异性极小图梯度存在增长间隙：非仿射整体极小图梯度至少以某正指数增长，从而梯度次增长必为平坦，解决相关猜想，适用于任意维度且无需接近欧氏面积。
AI中文摘要：
我们证明了整体各向异性极小图梯度的增长间隙。对于每个 $n\geq2$ 以及 $\mathbb{R}^{n+1}$ 上的每个光滑一致椭圆参数积分核 $\Phi$，存在指数 $\alpha=\alpha(n,\Phi)>0$，使得每个光滑非仿射的整体 $\Phi$-极小图 $u:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ 对所有 $R\geq R_0$ 满足 $\sup_{B_R^n}|Du|\geq cR^\alpha$，其中常数 $c>0$ 和 $R_0<\infty$ 依赖于解。特别地，梯度增长 $o(R^\alpha)$ 强制平坦性，解决了 Mooney 和作者的一个猜想。该结果在所有维度成立，无需假设 $\Phi$ 接近欧氏面积积分核。
英文摘要：
We prove a growth gap for the gradient of entire anisotropic minimal graphs. For each $n\geq2$ and each smooth uniformly elliptic parametric integrand $Φ$ on $\mathbb{R}^{n+1}$, there is an exponent $α=α(n,Φ)>0$ such that every smooth nonaffine entire $Φ$-minimal graph $u:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ satisfies $\sup_{B_R^n}|Du|\geq cR^α$ for all $R\geq R_0$, for some constants $c>0$ and $R_0<\infty$ depending on the solution. In particular, gradient growth $o(R^α)$ forces flatness, resolving a conjecture of Mooney and the author. The result holds in every dimension, without any assumption that $Φ$ is close to the Euclidean area integrand.
