发表机构
Institute of Basic Science, Sungkyunkwan University; Department of Mathematics, Sungkyunkwan University; Applied Algebra and Optimization Research Center, Sungkyunkwan University（基础科学研究院，成均馆大学; 数学系，成均馆大学; 应用代数与优化研究中心，成均馆大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文提出一种基于Dembowski-Ostrom多项式符号切换的构造，在$\mathbb F_{3^n}$上生成无限多个回飞镖一致性为一的APN函数，并证明其差分谱排除与幂函数和Ness-Helleseth二项式的CCZ等价，且通过核阶给出三个两两CCZ不等价的函数族。
AI 中文摘要
设 $q=3^n$，其中 $n>1$ 为奇数，并设 $g:\Fq\to\Fq$ 是由 Dembowski--Ostrom (DO) 多项式表示的完美非线性 (PN) 函数。令 $\tau=g(1)$，设 $\epsilon$ 为 $\Fthree^*$ 的指示函数，并且对于 $c\in\Fq$，定义 $\widetilde G_c(x):=g(x+c)+\tau\epsilon(x)$。我们证明每个 $\widetilde G_c$ 都是 APN 函数且其回飞镖一致性为一或二。更精确地，\\[ \beta_{\widetilde G_c}=1 \quad\Longleftrightarrow\quad c\in\mathcal C_g:=\{c\in\Fq\setminus\Fthree:g(c)+\tau\notin g(\Fq)\}, \qquad |\mathcal C_g|=\frac{q-3}{2}, \\] 而对于剩余的 $(q+3)/2$ 个参数，$\beta_{\widetilde G_c}=2$。我们确定了所有函数 $\widetilde G_c$ 的公共差分谱和完整的回飞镖谱。由于回飞镖一致性一是奇数特征有限域上 APN 函数可能达到的最小值，据我们所知，这给出了第一个一般构造，产生无限多个达到此最优值的 APN 函数族。这个公共差分谱排除了与所有幂函数和所有 Ness--Helleseth 型二项式的 CCZ 等价性。我们还证明了 DO PN 函数的符号切换之间的 CCZ 等价性蕴含原始 PN 函数之间的 EA 等价性。利用相关预半域的核的阶，我们对于无限多个奇数 $n$，在 $\F_{3^n}$ 上展示了三个两两 CCZ 不等价的 PN 函数，分别来自 Gold $f_1$、Ding--Yuan $f_3$ 和 Bierbrauer $f_5$ 族。因此，在每个这样的域上，我们的构造产生三个两两 CCZ 不等价且回飞镖一致性为一的 APN 函数。以此方式得到的最小扩张次数为 $n=45$。
英文摘要
Let $q=3^n$, where $n>1$ is odd, and let $g:\Fq\to\Fq$ be a perfect nonlinear (PN) function represented by a Dembowski--Ostrom (DO) polynomial. Put $τ=g(1)$, let $ε$ be the indicator of $\Fthree^*$, and, for $c\in\Fq$, define $\widetilde G_c(x):=g(x+c)+τε(x)$. We prove that every $\widetilde G_c$ is APN and has boomerang uniformity either one or two. More precisely, \[ β_{\widetilde G_c}=1 \quad\Longleftrightarrow\quad c\in\mathcal C_g :=\{c\in\Fq\setminus\Fthree:g(c)+τ\notin g(\Fq)\}, \qquad |\mathcal C_g|=\frac{q-3}{2}, \] whereas $β_{\widetilde G_c}=2$ for the remaining $(q+3)/2$ parameters. We determine the common differential spectrum and complete boomerang spectra of all the functions $\widetilde G_c$. Since boomerang uniformity one is the least possible for an APN function over a finite field of odd characteristic, this gives, to the best of our knowledge, the first general construction yielding infinite families of APN functions attaining this optimum. This common differential spectrum rules out CCZ equivalence with every power function and every Ness--Helleseth-type binomial. We also prove that CCZ equivalence between sign-switches of DO PN functions forces EA equivalence between the original PN functions. Using the orders of the nuclei of the associated presemifields, we exhibit, for infinitely many odd $n$, three pairwise CCZ-inequivalent PN functions over $\F_{3^n}$, one from each of the Gold $f_1$, Ding--Yuan $f_3$, and Bierbrauer $f_5$ families. Consequently, over each such field, our construction produces three pairwise CCZ-inequivalent APN functions with boomerang uniformity one. The smallest extension degree obtained in this way is $n=45$.
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