AI 中文总结
本文针对虚拟幂零商群，证明了纤维积有限性定理的对称加强版，给出了类型F_{min{k+l+1,m,n}}的精确结果，并提供了Virtual Surjections Theorem的替代证明。
AI 中文摘要
$n$-$(n+1)$-$(n+2)$ 定理，由 Cohen 和 Shusterman 最近建立，指出如果两个类型为 $\mathrm{F}_{n+1}$ 的群映射到同一个类型为 $\mathrm{F}_{n+2}$ 的商群 $Q$ 上，并且两个核之一具有类型 $\mathrm{F}_n$，则相应的纤维积具有类型 $\mathrm{F}_{n+1}$。当 $Q$ 是虚拟幂零群时，我们证明了这个定理的一个更强的对称变体。更精确地，对于 $i\in\{1,2\}$，设 $1\to N_i\to \Gamma_i\overset{\small\pi_i}{\to} Q\to 1$ 是群的短正合列，并设 $P=\{(\gamma_1,\gamma_2)\in\Gamma_1\times\Gamma_2\colon \pi_1(\gamma_1)=\pi_2(\gamma_2)\}$ 为它们的纤维积。设 $k,l,m,n\in\mathbb N_0$，假设 $N_1$ 和 $N_2$ 分别具有类型 $\mathrm{FP}_k$ 和 $\mathrm{FP}_l$，且 $\Gamma_1$ 和 $\Gamma_2$ 分别具有类型 $\mathrm{F}_m$ 和 $\mathrm{F}_n$。我们证明 $P$ 具有类型 $\mathrm{F}_{\min\{k+l+1,m,n\}}$。同样的公式也适用于用同调有限性性质 $\mathrm{FP}_r$ 替换 $\mathrm{F}_r$ 的情形。这为同伦和同调的 Virtual Surjections Theorem 提供了另一种证明，该定理给出了直积子群根据其在环境乘积中的嵌入的有限性判据。
英文摘要
The $n$-$(n+1)$-$(n+2)$ theorem, recently established by Cohen and Shusterman, says that if two groups of type $\mathrm{F}_{n+1}$ map onto a common quotient $Q$ of type $\mathrm{F}_{n+2}$ and one of the two kernels is of type $\mathrm{F}_n$, then the associated fibre product is of type $\mathrm{F}_{n+1}$. We prove a stronger, symmetric variant of this theorem when $Q$ is virtually nilpotent. More precisely, for $i\in\{1,2\}$, let $1\to N_i\to Γ_i\overset{\smallπ_i}{\to} Q\to 1$ be short exact sequences of groups and let $P=\{(γ_1,γ_2)\inΓ_1\timesΓ_2\colon π_1(γ_1)=π_2(γ_2)\}$ be their fibre product. Let $k,l,m,n\in\mathbb N_0$, assume that $N_1$ and $N_2$ are of type $\mathrm{FP}_k$ and $\mathrm{FP}_l$, respectively, and that $Γ_1$ and $Γ_2$ are of type $\mathrm{F}_m$ and $\mathrm{F}_n$, respectively. We prove that $P$ is of type $\mathrm{F}_{\min\{k+l+1,m,n\}}$. The same formula holds with the homological finiteness properties $\mathrm{FP}_r$ in place of $\mathrm{F}_r$. This provides an alternative proof of the homotopical and homological Virtual Surjections Theorem, which gives a finiteness criterion for subgroups of direct products in terms of their embedding in the ambient product.
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