随机距离图中独立数的稳定性
On the Stability of the Independence Number in Random Distance Graphs
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中文总结 AI 辅助
本研究证明在特定参数条件下，随机稀疏化的距离图的独立数仍等于 Erdős–Ko–Rado 定理给出的值，从而加强了 Raigorodskii 和 Karas 的结果，将保证稳定性的概率下界降低了约 r/s 倍。
中文摘要 AI 辅助
我们考虑完全距离图 $G(n,r,<s)$ 的一个随机子图 $G_p(n,r,<s)$，其顶点是集合 $\{1,\dots,n\}$ 的 $r$ 元子集，边连接那些交集元素个数少于 $s$ 的子集对；每条边独立于其他边以概率 $p$ 保留。图 $G(n,r,<s)$ 的独立数等于 $C_{n-s}^{r-s}$——这是经典的 Erdős–Ko–Rado 定理。我们证明，当 $r=r(n)\to\infty$，$s=s(n)\to\infty$，$s=o(r)$，$r^2=o(n)$ 且 $p\ge 16\\,sr^2\ln(n/r)/n$ 时，随机图 $G_p(n,r,<s)$ 的独立数以趋于 1 的概率也等于 $C_{n-s}^{r-s}$，即 Erdős–Ko–Rado 结果在图的随机稀疏化下是稳定的。由此，在参数范围 $s\to\infty$，$s=o(r)$ 内，Raigorodskii 和 Karas 的近期结果得到加强：保证稳定性的概率 $p$ 的下界降低了约 $r/s$ 的因子。
英文摘要
We consider a random subgraph $G_p(n,r,<s)$ of the complete distance graph $G(n,r,<s)$ whose vertices are the $r$-element subsets of the set $\{1,\dots,n\}$ and whose edges join pairs of subsets that intersect in fewer than $s$ elements; each edge survives independently of the others with probability $p$. The independence number of the graph $G(n,r,<s)$ equals $C_{n-s}^{r-s}$ -- this is the classical Erdos-Ko-Rado theorem. We prove that, for $r=r(n)\to\infty$, $s=s(n)\to\infty$, $s=o(r)$, $r^2=o(n)$ and $p\ge 16\,sr^2\ln(n/r)/n$, with probability tending to 1 the independence number of the random graph $G_p(n,r,<s)$ also equals $C_{n-s}^{r-s}$, i.e., the Erdos-Ko-Rado result is stable under random sparsification of the graph. Thereby, in the range of parameters $s\to\infty$, $s=o(r)$, a recent result of Raigorodskii and Karas is strengthened: the lower bound on the probability $p$ that guarantees stability is lowered by a factor of about $r/s$.
发表机构
- Lomonosov Moscow State University（莫斯科国立大学）
- Moscow Institute of Physics and Technology (National Research University)（莫斯科物理技术学院（国立研究型大学））
- Caucasus Mathematical Center, Adyghe State University（高加索数学中心，阿德尔格共和国国立大学）
- Buryat State University, Institute for Mathematics and Informatics（布里亚特国立大学，数学与信息学研究所）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
