最优比例批准投票委员会中的成员资格、唯一性与计数复杂性
The Complexity of Membership, Uniqueness, and Counting for Optimal Proportional Approval Voting Committees
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- University of Toronto（多伦多大学）
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中文总结 AI 辅助
研究比例批准投票中最大化委员会集合的成员资格、唯一性与计数问题，证明其复杂性分别达到$\Delta_2^\mathrm{P}$-完全、$\\#\\!\cdot\\!\mathrm{OptP}$-完全，并与$\\#\mathrm{SAT}$图灵等价。
中文摘要 AI 辅助
比例批准投票（PAV）选择最大化调和效用总和的委员会。我们研究最大化委员会的集合：某个候选是否属于其中部分或全部委员会，最优解是否唯一，以及最优解的数量。当委员会规模作为输入的一部分时，这三个决策问题都是$\Delta_2^\mathrm{P}$-完全的。唯一性即使在最多有两个最优委员会的实例中仍然是困难的。在度量归约下，计数最优委员会是$\\#\\!\cdot\\!\mathrm{OptP}$-完全的：该类中的每个函数$f$都归约到一个选举，该选举恰好有$f(x)+1$个最优委员会。这些归约直接将满足赋值编码为委员会，并利用调和边际奖励以多项式数量的选民实现二元目标。每个满足赋值都有唯一的委员会表示，固定的子句选票赋予这些表示相同的子句分数。我们还证明了与$\\#\mathrm{SAT}$的图灵等价性，并表明计数问题属于$\\#\mathrm{P}$将蕴含$\mathrm{NP}=\mathrm{coNP}$。
英文摘要
Proportional Approval Voting (PAV) chooses committees that maximize a sum of harmonic utilities. We study the set of maximizing committees: whether a candidate belongs to some or all of them, whether the optimum is unique, and how many optima exist. When the committee size is part of the input, the three decision problems are $Δ_2^\mathrm{P}$-complete. Uniqueness remains hard for instances with at most two optimal committees. Counting optimal committees is $\#\!\cdot\!\mathrm{OptP}$-complete under metric reductions: every function $f$ in this class reduces to an election with exactly $f(x)+1$ optimal committees. The reductions encode satisfying assignments directly as committees and use harmonic marginal rewards to realize binary objectives with polynomially many voters. Each satisfying assignment has a unique committee representation, and fixed clause ballots give these representations the same clause score. We also prove Turing equivalence with $\#\mathrm{SAT}$ and show that membership of the counting problem in $\#\mathrm{P}$ would imply $\\mathrm{NP}=\mathrm{coNP}$.
