可消去与局部薄的一致超图的极值问题
Extremal problems for cancellative and locally thin hypergraphs
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中文总结 AI 辅助
本文研究可消去和局部薄一致超图的Turán型极值问题，证明了$C_{2(t-1)}(n,tk)$的渐近公式，并推广到局部$(s,t)$-薄超图，确定了其极值数的多项式增长阶。
中文摘要 AI 辅助
我们研究可消去和局部薄的一致超图的Turán型极值问题。一个$r$-一致超图称为$t$-可消去的，如果当$A_1,\ldots,A_t,B,C$是不同的边时，有$(\cup_{i=1}^t A_i)\cup B\ne (\cup_{i=1}^t A_i)\cup C$。设$C_t(n,r)$表示在$n$个顶点上这样的超图的最大边数。对于所有固定的整数$t,k\ge2$，我们证明当$n\to\infty$时，$C_{2(t-1)}(n,tk)=(1+o(1))\frac{\binom{n}{k}}{\binom{tk-1}{k-1}}$。在$t=2$的情况下，这表明Füredi在2012年对$C_2(n,2k)$的上界是渐近紧的。下界使用局部稀疏的诱导打包，而上界则通过双重计数和匹配论证得出。更一般地，对于整数$s\ge t\ge1$，一个$r$-一致超图称为局部$(s,t)$-薄的，如果在任意$s$条不同的边中，至少有$t$条边包含一个顶点，该顶点不在这$s-1$条其他边中的任何一条中。这个概念将可消去超图作为特殊情况包含在内。我们建立了相应极值数的一般上下界，并在适当的整除性假设下确定了它们的多项式增长阶。
英文摘要
We study Turán-type extremal problems for cancellative and locally thin uniform hypergraphs. An $r$-uniform hypergraph is $t$-cancellative if $(\cup_{i=1}^t A_i)\cup B\ne (\cup_{i=1}^t A_i)\cup C$ whenever $A_1,\ldots,A_t,B,C$ are distinct edges. Let $C_t(n,r)$ denote the maximum number of edges in such a hypergraph on $n$ vertices. For all fixed integers $t,k\ge2$, we prove that $C_{2(t-1)}(n,tk)=(1+o(1))\frac{\binom{n}{k}}{\binom{tk-1}{k-1}}$ as $n\to\infty$. In the case $t=2$, this shows that Füredi's 2012 upper bound for $C_2(n,2k)$ is asymptotically sharp. The lower bound uses locally sparse induced packings, while the upper bound follows from double counting and a matching argument. More generally, for integers $s\ge t\ge1$, an $r$-uniform hypergraph is locally $(s,t)$-thin if among any $s$ distinct edges, at least $t$ contain a vertex that lies in none of the other $s-1$ edges. This notion includes cancellative hypergraphs as special cases. We establish general upper and lower bounds for the corresponding extremal numbers and determine their polynomial order of growth under suitable divisibility assumptions.
发表机构
- Shandong University（山东大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
