发表机构
Université Laval（拉瓦尔大学）
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本文证明了Mashreghi-Ransford不等式中的最优常数为$2/\sqrt{3}$，通过指数生成函数、Phragmén-Lindelöf估计和Cauchy公式给出了新证明。
AI 中文摘要
设$(a_n)_{n\geq0}$为复数序列，定义\\[ b_n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a_k, \qquad c_n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(-1)^{n-k}a_k. \\] 令$\beta>1$，置$\alpha=\sqrt{\beta^2-1}$，并假设$b_n,c_n=O(\beta^n)$。Mashreghi和Ransford证明了\\[ \limsup_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{\alpha^n} \leq \kappa \left(\limsup_{n\to\infty}\frac{|b_n|}{\beta^n}\right)^{\\!1/2}\\! \left(\limsup_{n\to\infty}\frac{|c_n|}{\beta^n}\right)^{\\!1/2} \\] 其中通用常数满足$2/\sqrt{3} \leq \kappa\leq2$。我们证明最优常数确实为$\kappa=2/\sqrt{3}$。该证明使用指数生成函数、Phragmén-Lindelöf估计和Cauchy公式，并与Mashreghi和Ransford的经典证明进行了比较。
英文摘要
Let $(a_n)_{n\geq0}$ be a sequence of complex numbers, and define \[ b_n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a_k, \qquad c_n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(-1)^{n-k}a_k. \] Let $β>1$, put $α=\sqrt{β^2-1}$, and suppose that $b_n,c_n=O(β^n)$. Mashreghi and Ransford proved that \[ \limsup_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{α^n} \leq κ\left(\limsup_{n\to\infty}\frac{|b_n|}{β^n}\right)^{\!1/2}\! \left(\limsup_{n\to\infty}\frac{|c_n|}{β^n}\right)^{\!1/2} \] with a universal constant satisfying $2/\sqrt{3} \leq κ\leq2$. We prove that the optimal constant is indeed $κ=2/\sqrt{3}$. The proof, which uses exponential generating functions, Phragmén-Lindelöf estimates, and Cauchy's formula, is compared to the classical one of Mashreghi and Ransford.
