$L_1$ 的尖锐度量余型不等式：通过非线性割集平滑
Sharp Metric Cotype Inequalities for $L_1$ via Nonlinear Cut Smoothing
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中文总结 AI 辅助
本文通过非线性割集平滑技术，确定了 $L_1$ 的 $p$ 矩环面不等式的最优阶数，并回答了 Mendel 和 Naor 关于 $L_1$ 尖锐度量余型的问题。
中文摘要 AI 辅助
对于每个 $1\leq p<\infty$ 和偶数 $m\geq4$，我们确定了 $L_1$ 的 $p$ 矩环面不等式的最优阶数：其为 $m^p n^{(1-p/2)_+}+n$，在取 $p$ 次根后比较常数与 $p,m,n$ 无关。因此，对于每个 $2\leq q<\infty$ 和 $1\leq p\leq q$，相应的度量余型不等式在尖锐尺度 $m=O(n^{1/q})$ 下成立。特别地，二次不等式在 $m=O(\sqrt{n})$ 下成立，回答了 Mendel 和 Naor 提出的 $L_1$ 尖锐度量余型问题。证明结合了有限割集表示、非线性平滑估计和精确的三元舍入恒等式。
英文摘要
For every $1\leq p<\infty$ and even integer $m\geq4$, we determine the optimal order of the $p$-moment torus inequality for $L_1$: it is $m^p n^{(1-p/2)_+}+n$, with comparison constants independent of $p,m,n$ after taking $p$-th roots. Consequently, for every $2\leq q<\infty$ and $1\leq p\leq q$, the corresponding metric cotype inequality holds at the sharp scale $m=O(n^{1/q})$. In particular, the quadratic inequality holds with $m=O(\sqrt{n})$, answering the $L_1$ sharp metric cotype question of Mendel and Naor. The proof combines finite cut representations with a nonlinear smoothing estimate and an exact ternary rounding identity.
发表机构
- School of Mathematical Sciences, Xiamen University（厦门大学数学科学学院）
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