L^1-斯托克斯半群
The $\mathrm{L}^1$-Stokes Semigroup
- TU Darmstadt（达姆施塔特工业大学）
- Universität Duisburg-Essen（杜伊斯堡-埃森大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
AI总结：
本文研究无滑移边界条件下斯托克斯算子在L^1空间中的半群生成问题，发现其在商空间上生成紧解析半群而在无散度子空间上不生成，解决了近五十年的公开问题，完善了有界域上斯托克斯半群理论。
AI中文摘要：
我们研究在空间 L_{σ,n}(Ω) 和 L^1(Ω,C^d)/∇W^{1,1}(Ω,C) 上具有无滑移边界条件的斯托克斯算子，其中 Ω⊂R^d 是任意有界 C^{1,α} 域。我们证明，尽管预解问题具有唯一可解性，L^1_{σ,n}(Ω) 上的斯托克斯算子并不生成 C_0-半群。与此形成鲜明对比的是，它在 L^1(Ω,C^d)/∇W^{1,1}(Ω,C) 上的实现生成一个紧的、解析的 C_0-半群，并且该半群保持 L^1_{σ,n}(Ω) 不变。关键点在于，这两个实现在 1<p<∞ 时通过 Helmholtz 分解被典范地等同，但在端点 p=1 处不再等价。这导致了本质上不同的泛函分析性质。我们的结果首次为有界域上纯 L^1 环境中具有无滑移边界条件的斯托克斯算子提供了正面的生成定理，并解决了一个近五十年来一直悬而未决的问题；参见例如 [Koz:01, DHP:01]。在这个意义上，它完善了（光滑）有界域上整个无散度 Lebesgue 空间尺度上的斯托克斯半群理论。作为中间步骤，我们获得了关于 Radon 测度空间的一些结果。证明结合了太阳对偶构造、对 L^1 中 Helmholtz 分解失效的精确分析、Abe 和 Giga [AG:12] 关于 C_{σ,0}(Ω) 上斯托克斯半群的著名结果，以及 Breit 和第二作者 [BG:25] 最近发展的斯托克斯算子正则性理论的改进。
英文摘要：
We study the Stokes operator with no-slip boundary conditions on the spaces $\mathrm{L}_{σ,n}(Ω)$ and ${\mathrm{L}^1(Ω,\mathbb{C}^d)}/{\nabla \mathrm{W}^{1,1}(Ω,\mathbb{C})}$, where $Ω\subset\mathbb{R}^d$ is an arbitrary bounded $\mathrm{C}^{1,α}$-domain. We show that the Stokes operator on $\mathrm{L}^1_{σ,n}(Ω)$ does not generate a $\mathrm{C}_0$-semigroup, even though the resolvent problem is uniquely solvable. In stark contrast, its realization on ${\mathrm{L}^1(Ω,\mathbb{C}^d)}/{\nabla \mathrm{W}^{1,1}(Ω,\mathbb{C})}$ generates a compact, analytic $\mathrm{C}_0$-semigroup, which leaves $\mathrm{L}^1_{σ,n}(Ω)$ invariant. The key point is that these two realizations, which are canonically identified for $1<p<\infty$ through the Helmholtz decomposition, cease to be equivalent at the endpoint $p=1$. This leads to genuinely different functional analytic properties. Our result provides the first positive generation theorem for the Stokes operator with no-slip boundary conditions in a pure $\mathrm{L}^1$-setting on a bounded domain and settles a problem that had remained open for nearly fifty years; see, e.g., \cite{Koz:01,DHP:01}. In this sense, it completes the theory of the Stokes semigroup across the full scale of solenoidal Lebesgue spaces on (smooth) bounded domains. As an intermediate step, some results on the space of Radon measures are obtained. The proof combines the sun-dual construction with a precise analysis of the failure of the Helmholtz decomposition in $\mathrm{L}^1$, the celebrated result of Abe and Giga \cite{AG:12} on the Stokes semigroup on $\mathrm{C}_{σ,0}(Ω)$ and the regularity theory refinements for the Stokes operator recently developed by Breit and the second author \cite{BG:25}.
